Сколько решений имеет система уравнений при различных значениях а? система: x² + (y-1) ² = 1; y + | x | = а

Эту можно красиво решить . первое уравнение задает окружность с центром в точке (0; 1) и радиусом 1, второе уравнение   y=a-|x|  - это уравнение "галки" модуля, перевернутой "вверх ногами" из-за минуса и сдвинутой на a по оси oy. мы должны выяснить, сколько точек пересечения этих кривых при разных a.  при a< 0 решений нет. при a=0 ''галка модуля" будет иметь одну точку пересечения с окружностью (картинка выглядит так, как если бы мы рисовали голову на туловище). если a продолжает расти, мы получаем уже две точки пересечения. при a=2 появится третье решение, при дальнейшем возрастании a их будет уже четыре. когда галка модуля "сядет" на окружность как шляпа, их станет два. чтобы поймать этот момент, можно поступить так: окружность оказывается вписанной в треугольник, образованный осью ox, а также сторонами "галки". площадь этого треугольника найдем двумя способами: 1)  как половину произведения основания (оно равно 2a) на высоту (она равна a); получаем a^2 2) как произведение полупериметра (он равен a√2+a) на радиус вписанной окружности, равный 1. отсюда a^2=a√2+a; a=√2+1. если a больше найденного значения, галка модуля больше не будет пересекаться с окружностью. ответ. при a< 0 и a> √2+1 решений нет. при a=0 одно решение. при a∈(0; 2)∪{√2+1} два решения при a=2 три решения при a∈(2; √2+1) четыре решения

Сначала, упросим:

2x - 4|y - 7| =

= 2x - |4y + 28|

Внутри модуля результат всегда положительный. Скажем попроще... Модуль — это скобка, но даже если там будет ответ с минусом, этого минуса не будет. Скажем, он его «смоет»))

2х - |4y + 28|

2 ⋅ (- 8) - |4 ⋅ (- 8) + 28| =

= - 16 - |- 4| =

= - 16 - 4 = - 20