Дан прямоугольный треугольник abc, угол с=90градусов, cd перепендикулярно ab, ac=3см, cd=2,4см 1) доказать: abc подобен adc, найти стороны треугольника abc, найти его площадь 2) разложить вектор cd по векторам ca и cb 3) найти площадь вписанного
в треугольник круга

решение: 1) треугольник abc подобен adc за двумя углами,

(угол acb=угол adc =90 градусов,

угол bac=угол dac).

по теореме пифагора ad=корень(ac^2-cd^2)= корень(3^2-2.4^2)=1.8

квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

cd^2=ad*bd, отсюда bd=cd^2\ad, bd=2.4^2\1.8=3.2

гипотенуза ab=ad+bd=1.8+3.2=5 см

по теореме пифагора катет bc=корень(ab^2-ac^2)=

=корень(5^2-3^2)=4 см

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

s=1\2*ac*bc=1\2*3*4=6 см^2.

2) дополнив треугольник до параллелограмма,

проведя стороны bf|| ca, af|| cb

вектор cd=1\2*вектор cf=1\2*(вектор ca+ вектор cb)

3)радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник равен половине от разницы( сумма катетов – гипотенуза)

r=1\2*(ac+bc-ab)

r=1\2*(3+4-5)=1

площадь круга равна sкр=pi*r^2

sкр=pi*r^2=3.14*1^2=3.14

Sполн.= s бок. + 2s основ. s основ= 3x5xsin 60 градусов= 15x корень  из  3/2. s больш. сечен.= больш. диагон. параллелограмма x   высоту параллелепипеда. найдем диагональ по теореме косинусов квадрат диагонали= 5^2+3^2-2*3*5* cos 120 градусов  = 25+9-30*(-0,5)=34+15=49, d =7 см, h=63: 7=9см,   s бок. поверх.=p основания x высоту = (3+5)*2*9=144 см^2. s полной=144+15  корней из 3