Составить уравнения общих касательных к графикам функций у=((x-1)^3)*32/9 и y=x^2

1) f(x)=(32/9)*(x-1)^3, уравнение касательной в какой-либо  точке x1:     y1=f(x1)+f '(x1)(x-x1) = f '(x1)x +f(x1) -f '(x1)x1     f(x1)=(32/9)(x1-1)^2, f '(x) =(32/9)*3(x-1)^2 =(32/3)(x-1)^2,        f '(x1)=(32/3)(x1-1)^2 2) f(x)=x2,   уравнение касательной в какой-либо  точке x2:     y2=f(x2)+f '(x2)(x-x2)  =  f '(x2)x +f(x2) -f '(x2)x2    f(x2)=(x2)^2, f '(x)=2x, f '(x2)=2(x2)если касательные общие, значит y1=y2,  значит должны быть равны коэфф. перед x и свободные члены,получаем систему уравнений с 2 неизвестными:     f '(x1)=f '(x2),  f(x1) -f '(x1)x1= f(x2) -f '(x2)x2      1.  (32/3)(x1-1)^2= 2(x2);   2.  (32/9)*(x1-1)^3 -x1* (32/3)(x1-1)^2=(x2)^2 -2(x2)^2      1.  ((32/3)(x1-1)^2)/ (x2)^2 =2;   /3)(x1-1)^2)/ (x2)-1)/3 -x1)=  -(x2)^2;     подставляя первое в 2,  из второго уравнения  получаем:     2(x1-1-3x1)/3 = -x2, 2(2x1+1)/3= x2, подставляем в  1.    ((32/3)(x1-1)^2=4(2x1+1)/3, 8(x1^2 -2x1+1)=2x1+1,      8x1^2-18x1+7=0, x1=(18+-√100)/16, x1=1/2, x1=7/4 теперь найдем уравнения касательной y1, они же будут равны  =y2: 1.  x1=1/2, f(x1)=(32/9)(1/2 -1)^3=(32//2)^3=(32//8)= -4/9    f '(x1)=(32/3)(1/2 -1)^2=(32/3)(1/4) = 8/3    y1= -4/9 + (8/3)(x-1/2) = -4/9 +(8/3)x -8/6, обозначим y1 просто y:     18y=48x-32, 9y=24x-16  - первое уравнение общей касательной2.  x1=7/4, f(x1)=(32/9)(7/4 -1)^3 = (32/9)(3/4)^3=(32/9)(27/64)=3/2,    f '(x1)=(32/3)(7/4 -1)^2= (32/3)(3/4)^2=(32/3)(9/16)= 6    y1=3/2 +6(x -7/4)=3/2+6x -21/2=6x-9,  обозначим y1 просто y:     y=6x -9 - второе уравнение общей касательной       

можно различные преобразования сделать.например,

1)cos²x-sin⁴x=(cosx-sin²x)(cosx+sin²x)

2)cos²x-sin⁴x=1-sin²x-sin⁴x=-(sin²x+(1+√5)/2)(sin²x+(√5-1)/2)

1-t²-t⁴=0

d=1+4=5 ,   (t²)₁,₂=(-1±√5)/2

1-t²-t⁴=-(t²+(1+√5)/2)(t²-(√5-1)/2)

 

  3) cos²x=(1+cos2x)/2   ,   sin⁴x=(1-cos2x)²/4