Вправильной треугольной пирамиде dabc со стороной основания ав, равной 30, боковое ребро равно 20. точки n и м делят рёбра da и db в отношении 2: 1, считая от вершины d. плоскость α, содержащая прямую mn, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) докажите, что плоскость а делит высоту се основания в отношении 8: 1, считая от точки с. б) найдите площадь сечения пирамиды dabc плоскостью α.

А) в прямоугольных тр-ках дао и дво nt⊥ao и мн⊥во. прямоугольные тр-ки дао и nat подобны т.к.  ∠а - общий. аналогично подобны тр-ки дво и mкн, значит от: та=он: нв=дn: na=2: 1. оа - радиус описанной окружности около основания пирамиды. r=oa=a√3/3=30√3/3=10√3. mn║ав, mn║kp, значит кр║ав, значит тр-ки аов и тон подобны по трём углам.  ое - радиус вписанной окружности в тр-ник авс  ⇒ ое=се/3. оо1: о1е=от: та=2: 1  ⇒ о1е=ое/3=се/9. со1=се-о1е-се-се/9=8·се/9. итак, со1: о1е=(8се/9): (се/9)=8: 1. доказано. б) дn: na=2: 1  ⇒ да: na=3: 1. в подобных тр-ках дао и nat дa: na=до: nt=3: 1  ⇒ nt=до/3. в тр-ке дао до²=ад²-оа²=20²-(10√3)²=100, до=10. nt=10/3. так как кр║ав, то тр-ки авс и крс подобны по трём углам.  со1: о1е=8: 1  ⇒ се: со1=9: 8. ав: кр=се: о1е=9: 8  ⇒ кр=8ав/9=8·30/9=80/3. в тр-ке дав дn: na=2: 1 ⇒ да: дn=3: 2. ab: mn=да: дn=3: 2 ⇒ mn=2ab/3=2·30/3=20. площадь трапеции kmnp:   s=nt·(kp+mn)/2=10·(80/3+20)/6=10(80/3+60/3)/6=10·140/18=700/9≈77.8 (ед²) - это ответ.

130 и  50