Подробное решение + рисунок. а)в окружности проведены хорды ав||cd и ae||fd. докажите, что хорды fb и ce параллельны. б)в ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону пополам. найдите: а) углы ромбы. б) его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5 см. в)окружности, радиусы которых равны 1см и 3 см, внешне касаются. найдите угол между их внешними касательными. г) найдите длину окруждности, около прямоугольного треугольника с катетом b и прилежащим к нему острым углом a.

а)так как ab//cd, то дуга ас=дуге вd => угол fba=углу dce, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.

аналогично доказываем, что угол bfd = углу cea.

точки пересечения хорд назовем м и n (см. рисунок).

треугольники fbm и ecn подобны по двум углам. а так как по условию fm//en и bm//cn, то fb//ce.

б)так как в ромбе все стороны равны и ан = половине ав, ан= половине ad. получается, что в прямоугольном треугольнике adh катет равен половине гипотенузы => < adh = 30 градусов., тогда < dah=60 градусов. противоположные углы ромба равны, значит угол с=60 градусов. угол d + угол b=180 градусов, значит < d = 120 гр. и < b=120гр.

периметр. рассмотрим тр. dab, он равнобедренный и угол а=60 гр., значит углы d и в равны по 60 гр., т.  е. треугольник dab равносторонний и его стороны равны по 3,5см.

таким образом da=ab=bc=cd=3,5см. значит периметр равен 3,5*4=14

ответ: 14см.

в)см. рисунок.

оа перпендикулярен ам и ев перпендикулярен ам , значит оа//ев. отсюда следует, что треугольники мао и мве перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы аом и вем равны как соответственные). из подобия следует, что ам: вм= ао: ве=3: 1 => ab: вм=2: 1. обозначим ав=2х, вм=1х.

из треугольника евм по теореме пифагора найдем ем. ем²=ев²+вм² => em²=1²+x²=1+x².

таким образом ом= 3+1+ем= 4+кор.из(1+х²)

с другой стороны по теореме пифагора ом²=9+9х² => om= кор.из(9+9х²)

составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3

рассмотрим теперь треугольник вем. так как он прямоугольный, то tg угла вме равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т.  е. ве: вм=1: кор.из3 => угол вме=30градусов.

угол вме = углу кме (отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол вмк=60градусов.

г)обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c => c=b/cos a

гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).

длина окружности равна 2πr= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a

FQ=QT,т к на чертеже два равных прямоугольных треугольника,где

LQ=QM,как радиусы

<LQF=TQM,как вертикальные углы

По третьему признаку равенства прямоугольных треугольников,два треугольника FLQ и QTM,равны между собой по гипотенузе и острому углу.

Объяснение: