25 1/1*2+1/2*3+1/3*4+/n(n+1)=n/n+1

Докажем методом индукции: 1) для n = 1 (базис индукции) 1/1(1 + 1) = 1/(1 + 1) 1/2 = 1/2 2) пусть n = k равенство (1) выполняется: 1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + + 1/k(k + 1) = k/(k + 1) 3) докажем теперь, что при n = k + 1 равенство выполняется (шаг индукции): 1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + + 1/k(k + 1) + 1/(k + 1)(k + 2) = (k + 1)/(k + 2) 1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + + 1/k(k + 1) = (k + 1)/( k + 2) - 1(/k + 1)( k + 2) дроби в правой части к общему знаменателю: (k + 1)² - 1/(k + 1)(k + 2) = (k² + 2k + 1 - 1)/(k + 1)(k + 2) = (k² + 2k)/(k + 1)(k + 2) = k(k + 2)/(k + 1)(k + 2) = k/(k + 1) теперь запишем то, что должно получиться: 1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + + 1/k(k + 1) = k/(k + 1) мы пришли к равенству (1), которое предполагало, что при n = k данное равенство верно, значит, при любом натуральном n равенство верно. доказано.

Решение (x + 3)*(3 - x) > 0 перепишем неравенство, умножая левую и правую части на (-1) (x + 3)*(x - 3) < 0 x1 = - 3 x2 = 3   (можно через точки -3 и  3 провести параболу)         +                           -                           + >                       -3                             3 ответ:   x∈(-3; 3)