100 abcd ромб с углом а = 60 градусов. ma перпендикулярна плоскости ромба ab=am найти угол между плоскостями mcd и mcb.

Дано:   abcd  - ромб ; ∠a =60° ; ma  ⊥  ( abcd ) ; ma   =ab . α =  ∠  (  (mcd) ,  (mcb) )    -?   (угол   между плоскостями ) длину  стороны ромба обозначаем через   a : ab =ad =bc =cd =a;   точка пересечения диагоналей     bd и   ac  → o. δbad -  равносторонний (ab =ad и  ∠a =60°  ) ⇒  bd =  a   ; ac =2ao = a√3   .     ma  ⊥   (  abcd )  ⇒  ma  ⊥ ab   и   ma  ⊥ ad .δmab =  δmad   и  т.к.  ma   =ab =a   ⇒    mb =md =√(a² +a²) =a√2 ,   следовательно    δmcd   =  δmcb ( по трем сторонам _   mc -общее)   и    из   δmac :     mc =√(ma²+ ac²) =  √(a²+ 3a²)  =2a  . mc линия пересечения   плоскостей   mcd и   mcb  . проведем   в треугольнике  δ mcd      высоту  dk:     dk  ⊥ mc   ( k- основание высоты ,    k  ∈   [  mc]   ;     mc² > mb² +dc² ⇒  ∠  mdc _тупой  )  ,    точка   k  соединяем  с  вершиной   b  ,    очевидно   bk  ⊥ mc   из  δmcd   =  δmcb  .     таким образом  ∠dkb =   α   искомый угол . по теореме косинусов из   δmcd : md²   =  mc² +cd² - 2mc*cd*cos∠mcd  ⇔ 2a² =4a² +a² -2*2a*acos∠mcd⇒  cos∠mcd =3/4  ⇒   sin∠mcd =  √(1 -cos²∠mcd) =√(1 -(3/4)² ) =(√7) /  4 kd =cd*sin∠mcd   =  (a√7) /  4     ( из  δkcd ). из  δdko  :     sin (α/2 ) =  do /  dk =(a/2) /  (a√7) /  4  =2  /√ 7.α/2 =  arcsin (2  /√7)  ⇒  α =2arcsin (2  /√7). ответ  :   2arcsin (2  /√7) .                       * * *  2arcsin (2√7  /  7 ) * * *  .      

Получается такой порядок точек: o  b  a  c 1) ob< oa 2) oc> oa 3) o< oc