Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/корень из пи. двугранный угол при ребре основания 60 гр. вычисите площадь сферы вписанной в пирамиду.

апофема правильной треугольной  пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.

 

вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.  поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.

его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( см. рисунок)

так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание   треугольника msh равно апофеме пирамиды. т.е. треугольник этот - равносторонний.  радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды. эту высоту найдем из треугольника som. она равна sm·sin (60°)so=(9/√π)·(√3): 2радиус вписанной сферы в эту пирамидуr=(3√3): 2√πs=4πr²s=4π{(3√3): 2√π}²=4π·27: 4π=27 см²

Т. к. диагональ ромба при пересечении делятся пополам, значит рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник, с катетами 5 и 12 см, по теореме пифагора найдем гипотенузу: √5²+12²=√25+144=√169=13. значит, периметр ромба равен 4×13=52 см ответ. 52 см