Используя методы дифференциального исчисления, провести исследование функции и построить график y=x^3+x^2-16x-16

1) точки пересечения с осями.   - с осью оу: х = 0, у =0^3+0^2-16*0-16 = -16, точка (0; -16).   - с осью ох: у = 0.     x^3+x^2-16x-16 = 0.     преобразуем заданное уравнение:       у =x^3+x^2-16x-16 = х²(х+1)-16(х+1) = (х²-16)(х+1) = (х-4)(х+4)(х+1).     у = 0,   (х-4)(х+4)(х+1) = 0.     отсюда получаем 3 корня уравнения: х₁ = 4, х = -4, х = -1. 2)  для того, чтобы найти экстремумы, нужно найти  производную и    приравнять её  нулю  и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y' =  3x² + 2 x - 16 = 0.

квадратное уравнение, решаем относительно x:  

ищем дискриминант:

d=2^2-4*3*(-16)=4-4*3*(-16)=4-12*(-16)=*16)=)=4+192=196;

дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√196-2)/(2*3)=(14-2)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;  

x₂=(-√196-2)/(2*3)=(-14-2)/(2*3)=-16/(2*3)=-16/6=-(8/3)  ≈  -2,6667.

значит, экстремумы в точках: /3); (400/ (2, -36). 3) определяем минимумы и максимумы функции и промежутки знакопостоянства. для этого находим значения производной вблизи критических точек. х =       -3       -2.667       -2         1        2        3  у' =      5          0           -8       -11      0      17.

где производная меняет знак с + на - там максимум функции ((х=(-8/3); у= (400/ а где меняет знак с - на + там минимум функции (х=2; у=-

функция возрастает на промежутках -∞ < x < (-8/3) и 2 < x < +∞,

а убывает на промежутке (-8/3) < x < 2.

4)  найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

y'' = 0  (вторая производная равняется нулю),  корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, y'' = 6x+2 = 2(3x+1) = 0. 3 x + 1 = 0. отсюда х = (-1/3). интервалы выпуклости и вогнутости: найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов. если  на интервале вторая производная больше 0  , то функция имеет  вогнутость на этом интервале, если  вторая производная меньше 0, то функция имеет  выпуклость. x =      -2      -1      -0.33333     0        1 y'' = -10      -4         0            2        8 вогнутая на промежутках  [-1/3, oo), выпуклая на промежутках  (-oo, -1/3].

 

Х^2+рх-35=0х7 ^2пх35=0(7 ^2-35)хрх=035-14=22коэффицент-22