Даны точки a, b, c и d. докажите, что ab^2 +bc^2 +cd^2 + da^2 ≥ ac^2 +bd^2 , причем равенство достигается, только если abcd — параллелограмм.

236

412

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

denis403

Геометрия

4,6(82 оценок)

Начертим четырехугольник abcd и проведём диагонали ac и bd. по теореме косинусов: bd² = ab² + ad² - 2ab*ad*cosa bd² = bc² + cd² - 2bc*cd*coscac² = ab² + bc² - 2ab*bc*cosb ac² = ad² + dc² - 2ad*dc*cosd теперь сложим все эти четыре равенства: ac² + ac² + bd² + bd² = ab² + ad² - 2ab*ad*cosa + bc² + cd² - 2bc*cd*cosc + ab² + bc² - 2ab*bc*cosb + ad² + dc² - 2ad*dc*cosd 2ac² + 2bd² = 2ab² + 2bc² + 2dc² + 2ad² - 2ad*dc*cosd - 2bc*cd*cosc - 2ab*ad*cosa - 2ab*bc*cosb ac² + bd² = ab² + bc² + dc² + ad² - ad*dc*cosd - bc*cd*cosc - ab*ad*cosa - ab*bc*cosb ac² + bd² + ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb = ab² + bc² + dc² + ad² ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb > 0 (косинус тупого угла < 0, косинус острого угла > 0, против большей стороны лежит больший угол, поэтому произведение с отрицательным косинусом тупого угла со сторонами будет меньше, чем произведение косинуса острого угла с другими двумя сторонами) значит, ac² + bd² < ab² + bc² + dc² + ad². в параллелограмме ab = cd, bc = ad, cosa = cos c = -cosb = -cosd (противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы равны; т.к. ∠a и ∠b, ∠c и ∠b - односторонние, то косинусы их будут противоположны) ac² + bd² + ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb = ab² + bc² + dc² + ad² ac² + bd² - ad*ab*cosa + ad*ab*cosa + ab*ad*cosa - ad*ab*cosa = ab² + bc² + dc² + ad² ac² + bd² = ab² + bc² + dc² + ad² (данное равенство называется тождеством параллелограмма).

Ксения095

Геометрия

4,8(83 оценок)

ответ:Решение смотри на рисунке

P.s. крутой дракон, не так ли? =3

Постройте кривую соответствующую шести сгибам полоски, из кривой в пять сгибов и обрисуйте её контур

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.