На стороне треугольника авс отмечена точка d, прямая сd перпендикулярна к медиане ам, аd: dв=3: 1. ac=3. угол с=60, найдите вс

Пусть p - точка пересечения am  и cd; и пусть bp пересекает ac в точке q; тогда из теоремы чевы сразу следует aq/qc = ad/db = 3; из теоремы ван-обеля (следствие теоремы чевы) ap/pm = ad/db + aq/qc = 6; получилось, что в треугольнике cam 1) угол с = 60°; 2) высота cp делит сторону am на отрезки в отношении 6: 1; 3) ac = 3; этого достаточно, чтобы решить . если для краткости записи обозначить cp = h; mp = z; mc = y; ac = a = 3; то легко записать очевидные соотношения y^2 = z^2 + h^2; a^2 = (6*z)^2 + h^2; (7*z)^2 = y^2 + a^2 - a*y; (это просто теорема косинусов, косинус 60° равен 1/2; напоминаю, что a = 3) вычитая из второго уравнения первое, легко найти a^2 - y^2 = 35*z^2; остается исключить z, подставить a = 3; и получится квадратное уравнение для y; напомню, что вс = 2*y; (y^2 + a^2 - a*y)/49 = (a^2 - y^2)/35; 5*y^2 + 5*a^2 - 5*a*y = 7*a^2 - 7*y^2; 12*y^2 - 2*a^2 - 5*a*y = 0; 12y^2 - 15*y - 18 = 0; или bc^2 - (5/2)*bc - 6 = 0; bc = 5/4 + √((5/4)^2 + 6) = (5 + √(25 + 16*6))/4 = (5 + 11)/4 = 4; (второй корень отпадает)

Оказалось непросто, даже почти  забанили за самоуверенность.  но решение простое. итак:   треугольник abc. высота bd.  обозначим длину искомого отрезка -  х (ef). bd=4, ad=1, dc=8,  сводится к тому, чтобы прировнять площади двух получившихся фигур, s1 (маленький треугольник cef) и s2  (сложная фигура, состоящая из треугольника abd и прямоугольной трапеции befd. отношение сторон треугольника ecf равно отношению в bcd. следовательно если ef=x, то cf=2x. находим площадь  s1=(x*2x)/2=x²; то есть  s2=s1, но вместе с тем s2+s1=sобщ. sобщ=(4*8)/2+(4*1)/2=18; sобщ=2s1=2x²=18; x²=9; x=3. ответ: длина отрезка = 3.