Нужно доказатьтригонометрические тождества

дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. здесь на приходит основное тригонометрическое тождество.

эта формула связывает синус и косинус одного угла. теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. достаточно извлечь квадратный корень:

обратите внимание на знак «±» перед корнями. дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

именно поэтому во всех b11, которые встречаются в егэ по , обязательно есть дополнительные условия, которые избавиться от неопределенности со знаками. обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

внимательный читатель наверняка спросит: «а как быть с тангенсом и котангенсом? » напрямую вычислить эти функции из выше формул нельзя. однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. а именно:

важное следствие: для любого угла  α  можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны  на cos2  α  (для получения тангенса)  или на sin2  α(для котангенса).

рассмотрим все это на конкретных примерах. ниже настоящие b11, которые взяты из пробных вариантов егэ по 2012.

. найдите sin  α, если известно следующее:

нам известен косинус, но неизвестен синус. основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. имеем:

sin2  α  + cos2  α  = 1 ⇒  sin2  α  + 99/100 = 1 ⇒  sin2  α  = 1/100 ⇒sin  α  = ±1/10 = ±0,1.

для решения осталось найти знак синуса. поскольку угол  α  ∈ (π/2;   π),  то в градусной мере это записывается так:   α  ∈ (90°; 180°).

следовательно, угол  α  лежит во ii координатной четверти — все синусы там положительны. поэтому  sin  α  = 0,1.

. найдите cos  α, если известно следующее:

итак, нам известен синус, а надо найти косинус. обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. подставляем:

sin2  α  + cos2  α  = 1 ⇒  3/4 + cos2  α  = 1 ⇒  cos2  α  = 1/4 ⇒  cos  α  = ±1/2 = ±0,5.

осталось разобраться со знаком перед дробью. что выбрать: плюс или минус? по условию,  угол  α  принадлежит промежутку  (π  3π/2).  переведем углы из радианной меры в градусную — получим:   α  ∈ (180°; 270°).

очевидно, это iii координатная четверть, где все косинусы отрицательны. поэтому  cos  α  = −0,5.

. найдите tg  α, если известно следующее:

тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

получаем: tg  α  = ±3. знак тангенса определяем  по углу  α.  известно,  что  α  ∈ (3π/2; 2π).  переведем углы из радианной меры в градусную — получим  α  ∈ (270°; 360°).

очевидно, это iv координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. поэтому  tg  α  = −3.

. найдите cos  α, если известно следующее:

снова известен синус и неизвестен косинус. запишем основное тригонометрическое тождество:

sin2  α  + cos2  α  = 1 ⇒  0,64 + cos2  α  = 1 ⇒  cos2  α  = 0,36 ⇒  cos  α  = ±0,6.

знак определяем по углу. имеем:   α  ∈ (3π/2; 2π).  переведем углы из градусной меры в радианную:   α  ∈ (270°; 360°) —  это iv координатная четверть, косинусы там положительны. следовательно,  cos  α  = 0,6.

. найдите sin  α, если известно следующее:

запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

отсюда получаем, что sin2  α  = 1/25, т.е. sin  α  = ±1/5 = ±0,2. известно, что угол  α  ∈ (0;   π/2).  в градусной мере это записывается так:   α  ∈ (0°; 90°) —  i координатная четверть.

итак, угол находится в i координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому  sin  α  = 0,2.