Кнекоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество

обозначим через  a  первое натуральное число, а через  b  и  c  записанные за ним двузначные числа. пусть   x = a + b + c.  по условию числа   104a  + 100b + c = x3.    если   x  ≥ 100,  то   x3  ≥ 104x  = 104(a + b + c) > 104a  + 100b + c,  то есть уравнение не имеет решений.    следовательно,  x  – двузначное число,  a  – либо однозначное, либо двузначное число, а  x3  – пяти- либо шестизначное число. кроме того,   x  ≥ 22  (213  = 9261  – четырёхзначное число).    заметим, что число   x3  −  x  = 9999a  + 99b  делится на 99. так как   x3  −  x = x(x  − 1) (x  + 1),  то среди чисел   x  − 1,    x, x  + 1   какое-то делится на 9 и какое-то на 11. поскольку   22 ≤  x  ≤ 99,  возможны следующие случаи:   1)   x  = 44  (x  + 1 = 45),  443  = 85184,  8 + 51 + 84 > 44;   2)   x  = 45  (x  − 1 = 44),  453  = 91125,    a  = 9,    b  = 11,    c  = 25;     3)   x  = 54  (x  + 1 = 45),  543  = 157464,  15 + 74 + 64 > 54;   4)   x  = 55,  (x  − 1 = 54),  553  = 166375,  16 + 63 + 75 > 55;   5)   x  = 89,  (x  − 1 = 88,    x  + 1 = 90),  893  = 704969,  70 + 49 + 69 > 89;   6)   x  = 98,  (x  + 1 = 99),  983  = 941192,  94 + 11 + 92 > 98;   7)   x  = 99,    x3  = 970299,  2 – не двузначное число.

9, 11, 25.

Пошаговое объяснение:

12  30\45

7  27\45

6  20\45

4  6\45