Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

если два треугольника имеют равный угол, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

дано: δавс, δа₁в₁с₁, ∠а = ∠а₁.

доказать: sabc /sa₁b₁c₁ = (ab · ac) /   (a₁b₁ · a₁c₁) .

доказательство:

наложим треугольники так, чтобы угол а совместился с углом а₁, а стороны а₁в₁ и а₁с₁ лежали на лучах ав и ас соответственно.

проведем вн - высоту δавс. вн является так же и высотой треугольника а₁вс₁.

площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания (стороны, к которым проведена высота):

sabc / sa₁bc₁ = ac / a₁c₁           (1)

проведем с₁н₁ - высоту δа₁в₁с₁. с₁н₁ является так же и высотой треугольника авс₁, значит

sabc₁ / sa₁b₁c₁   = ab / a₁b₁         (2)

перемножим равенства (1) и (2):

(sabc / sa₁bc₁) · (sabc₁ / sa₁b₁c₁) = (ac / a₁c₁) · (ab / a₁b₁)

так как sa₁bc₁ и sabc₁   это площадь одного и того же треугольника, она сокращается и получаем:

sabc / sa₁b₁c₁ = (ab · ac) /   (a₁b₁ · a₁c₁)