При игре в настольный теннис игрок бьёт по шарику ракеткой,движущейся со скоростью 5м/с.масса ракетки 400гр.скорость движения шарика до удара 3м/с,масса шарика 20гр. какова будет скорость шарика после удара,если кинетическая энергия ракетки уменьшиться на 0.5дж.промежуточные и окончательные расчёты округлить до тысячных долей

Введём определения: m, vo и v – масса и скорости ракетки до и после удара в лсо, для определённости они направлены вправо; m, vo и v – масса и скорости мячика до и после удара в лсо, для определённости: мячик всегда летит от ракетки вправо, вначале небыстро, а потом – быстрее; для учёта встречного к ракетке движения мячика, в качестве альтернативного условия – будем использовать знак минус перед vo. u – скорость центра масс системы, которая не меняется, она, очевидно, направлена вправо (масса и скорость ракетки больше массы и скорости мячика); v1 и v2 – скорости ракетки до и после удара в сцм, для определённости: сначала ракетка летит вправо на мячик, а после удара – влево от мячика; v1 и v2 – скорости мячика до и после удара в сцм, для определённости: сначала мячик летит влево на ракетку, а после удара – вправо от ракетки; общий импульс системы:   mvo + mvo ; центр масс движется со скоростью u, для которой из соображений общего импульса верно, что:   (m+m)u = mvo + mvo ; u = [ mvo + mvo ]/[m+m] ; при переходах из лсо в сцм, получаем: v1 = vo – u = vo – [ mvo + mvo ]/[m+m] = m(vo–vo)/[m+m] ; до удара по закону сохранения импульса в сцм: mv1 = mv1 ; v1 = [m/m] v1 ; после реального удара с частичной потерей энергии: mv2 = mv2 ; v2 = [m/m] v2 ; т.е.:   v2/v1 = v2/v1 = β , или проще говоря, обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² –коэффициент потери энергии ) : 0 < β < 1 ; в сцм после абсолютно удара скорости просто бы развернулись (считаем удар лобовым), сохранившись по модулю, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся: v2 = βv1 ; v = u–v2 = u–βv1 ; потеря энергии ракетки: ∆eк = [m/2] ( vo² – v² ) = [m/2] ( vo² – ( u – βv1 )² ) – квадратичная функция относительно β. найдём экстремум: ( vo² – ( u – βv1 )² )' = 2( u – βv1 ) v1 = 0 ; βэкс = u/v1 = [ mvo + mvo ] / [ mvo – mvo ] = [ mvo/[mvo] + 1 ] / [ vo/vo – 1 ] ; если мячик всё время движется направо, то: βэкс = [ mvo/[mvo] + 1 ] / [ vo/vo – 1 ] ≈ [ 2/0.06 + 1 ] / [ 5/3 – 1 ] ≈ 51.5 ; при β=0 : ∆eк = [m/2] ( vo² – u² ) = [m/2](vo–u)(vo+u) = = [m/2] v1 ( vo + [ m vo + m vo ]/[m+m] ) = = [m/2] m(vo–vo)/[m+m] ( 2mvo + m(vo+vo) )/[m+m] = = ( mvo + m(vo+vo)/2 ) mm(vo–vo)/(m+m)² ; при β=1 : ∆eк = [m/2] ( vo² – ( 2u – vo )² ) = 2um ( vo – u ) = 2mu v1 = = 2 ( mvo + mvo ) mm(vo–vo)/(m+m)² ; при β=0 : ∆eo = ( mvo + m(vo+vo)/2 ) mm(vo–vo)/(m+m)² ≈ ≈ ( 2 + 0.02*4 )*0.008*2/0.42² ≈ 416/2205 ≈ 0.189 дж ; при β=1 : ∆e1 = 2 ( mvo + mvo ) mm(vo–vo)/(m+m)² ≈ ≈ 2 ( 2 + 0.06 )*0.008*2/0.42² ≈ 824/2205 ≈ 0.374 дж ; так что вариант, когда мячик всё время движется вперёд с разгоном после удара – невозможен с потерей энергии ракетки в 0.5 дж. если мячик сначала движется налево, а после удара – направо, то: βэкс = [ mvo/[–mvo] + 1 ] / [ vo/[–vo] – 1 ] ≈ [ –2/0.06 + 1 ] / [ –5/3 – 1 ] ≈ 12.125 ; при β=0 : ∆eo = ( mvo + m(vo–vo)/2 ) mm(vo+vo)/(m+m)² ≈ ≈ ( 2 + 0.02 )*0.008*8/0.42² ≈ 1616/2205 ≈ 0.733 дж ; при β=1 : ∆e1 = 2 ( mvo – mvo ) mm(vo+vo)/(m+m)² ≈ ≈ 2 ( 2 – 0.06 )*0.008*8/0.42² ≈ 3104/2205 ≈ 1.41 дж ; так что вариант, когда мячик сначала летит влево на ракетку, а потом после удара вправо от ракетки – тоже невозможен со значением в потере энергии в 0.5 дж ! : –) у нелепой нет нормального решения : –) *** отметьте, , это решение лучшим, чтобы сохранялась последовательность в рассуждениях.

Однако можно допустить, что во время удара, ракетка «рвётся» и мячик проходит сквозь неё как сквозь марлю. в случае если бы прорывание ракетки было абсолютным, т.е. в ракетке с самого начала было бы отверстие, то изменение кин. энергии ракетки было бы равно нулю (β=–1). если бы рвущаяся ракетка догоняла бы мячик, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в диапазоне: 0–0.189 дж, что нас не устраивает. а вот если бы рвущаяся ракетка шла навстречу мячику, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в :   0–0.733 дж, что нас как раз полностью устраивает. чтобы всё было логично со знаками, сделаем переопределения: m, vo и v – масса и скорости ракетки до и после прорыва в лсо: они направлены вправо; m, vo и v – масса и скорости мячика до и после прорыва в лсо: мячик летит на ракетку влево, и после того, как он прорывает её – он продолжает лететь влево. если у v – окажется отрицательное значение, то это просто скажет о том, что мячик с некоторой небольшой скоростью, но всё-таки полетит вслед за ракеткой вправо после прорыва. u – скорость центра масс системы, которая не меняется; v1 и v2 – скорости ракетки до и после прорыва в сцм: ракетка всё время движется вправо, после прорыва – её скорость падает; v1 и v2 – скорости мячика до и после прорыва в сцм: мячик всё время летит влево на ракетку, после прорыва – его скорость падает; общий импульс:     mvo – mvo ; центр масс движется со скоростью u, для которой верно, что:     (m+m)u = mvo – mvo ; u = [ mvo – mvo ]/[m+m] ; при переходах из лсо в сцм, получаем: v1 = vo – u = vo – [ mvo – mvo ]/[m+m] = m(vo+vo)/[m+m] ; до прорыва по закону сохр. имп. в сцм: mv1 = mv1 ; v1 = [m/m] v1 ; после прорыва с частичной потерей энергии: mv2 = mv2 ; v2 = [m/m] v2 ; т.е.:     v2/v1 = v2/v1 = β , т.е. обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² – коэфф. потери энергии при прорыве ракетки ) : 0 < β < 1 ; в сцм при отсутствии взаимодействия (мячик проходит в отверстие) – скорости просто сохранились бы, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся, сохранив направления: v2 = βv1 ; v = u+v2 = u+βv1 ; потеря энергии ракетки: ∆eк = [m/2] ( vo² – v² ) = [m/2] ( vo² – ( u+βv1 )² ) ; 2∆eк/m = vo² – ( u+βv1 )² ; v1² β² + 2uv1 β – ( vo² – u² – 2∆eк/m ) = 0 ; v1 β² + 2u β – ( vo² – u² – 2∆eк/m )/v1 = 0 ; d = u² + vo² – u² – 2∆eк/m = vo² – 2∆eк/m β = ( –u ± √[ vo² – 2∆eк/m ] ) / v1 = [ √[ vo² – 2∆eк/m ] – u ] / v1 ; β = √[ vo² – 2∆eк/m ] / v1 – u/v1 = = [1+m/m]/[vo+vo] √[ vo² – 2∆eк/m ] – [ mvo/mvo – 1 ] / [ vo/vo + 1 ] = = [1+m/m] √[ 1/(1+vo/vo)² – 2∆eк/[m(vo+vo)²] ] – [ mvo/mvo – 1 ] / [ vo/vo + 1 ] ; β ≈ 21 √[ 1/(1+3/5)² – 1/[0.4*64] ] – [ 2/0.06 – 1 ] / [ 5/3 + 1 ] ≈ ≈ 63/16 √10 – 12.125 ≈ 0.326 ; всё в порядке! вариант прорыва возможен, поскольку: 0 < β < 1 ; v2 = βv1 = ( √[ vo² – 2∆eк/m ] – u ) v1/v1 = ( √[ vo² – 2∆eк/m ] – u ) m/m ; v = v2 – u = ( √[ vo² – 2∆eк/m ] – u ) m/m – u = = [m/m] √[ vo² – 2∆eк/m ] – u(m+m)/m = = [m/m] √[ vo² – 2∆eк/m ] – [mvo–mvo]/m = = vo + [m/m] ( √[ vo² – 2∆eк/m ] – vo ) ; v = vo + [m/m] ( √[ vo² – 2∆eк/m ] – vo) ≈ 3 + 20 ( √[ 25 – 1/0.4 ] – 5 ) ≈ ≈ 3 + 20 ( 1.5 √10 – 5 ) ≈ 3 + 30 √10 – 100 ≈ –2.13 м/c ; (будет направлена вправо, отставая от порванной ракетки) ; о скорости ракетки: ∆eк = eкo – eк ; ∆eк = mvo²/2 – mv²/2 ; v² = vo² – 2∆eк/m ; v = √[ vo² – 2∆eк/m ] ≈ √[ 25 – 1/0.4 ] ≈ 1.5 √10 ≈ 4.74 м/с (правильно, прорванная ракетка будет обгонять, только что прорвавший её и летящий позади мячик). *** если же составители надеялись, что нужно просто посчитать изменение скорости и импульса ракетки через изменение её энергии, а потом потерянный ею импульс прибавить к импульсу мячика, то они ошиблись, поскольку тогда из ниоткуда взялась бы энергия: посмотрим: v = √[ vo² – 2∆eк/m ] ; ∆p = m(vo–v) = m ( vo – √[ vo² – 2∆eк/m ] ) = m∆v ; ∆v = [m/m] ( vo – √[ vo² – 2∆eк/m ] ) ; v = vo + ∆v = vo + [m/m] ( vo – √[ vo² – 2∆eк/m ] ) ; v = vo + [m/m] ( vo – √[ vo² – 2∆eк/m ] ) ≈ ≈ 3 + 20 ( 5 – √[ 25 – 1/0.4 ] ) ≈ 3 + 20 ( 5 – 1.5√10 ) ≈ 103 – 30√10 ≈ 8.13 м/с. при этом энергия мячика возрастает: ∆eк = m/2 (v²–vo²) ≈ 0.01 (8.13²–3²) ≈ 0.57 дж,        что невозможно, поскольку энергия ракетки уменьшается по условию только на 0.5 дж, а предполагается использование законов сохранения, т.е. ракетка рассматривается, как бы на мгновение удара – оторвавшейся от руки отбивающего. можно, конечно «догадаться», что изменение скорости налетающего мяча нужно считать в сторону вычитания, а не в сторону сложения, вот только откуда понять, что мяч налетает на ракетку и что он её порвёт, а не отскочит – ну совершенно непонятно без глубокого анализа. ответ: скорость мяча :   v ≈ 2.13 м/c  ,      при этом он прорвёт ракетку и будет лететь в ту же сторону, что и ракетка, постепенно отставая от неё (скорость ракетки 4.74 м/с после прорыва).

еслия правильго думаю то так по закону сохранения m*g*h=m*v^2/2 v=корень квадратный(2*g*h)=корень(2*10*5)=10 м/с