Ответы на вопрос:
Задание 1.
Выберем в стандартный базис (то есть векторы
и
). В
выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов:
. Здесь уже есть два линейно независимых вектора:
и
, а потому
(а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра:
. Элементы ядра должны удовлетворять системе
. Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив
, получим, например, решение
, а для
подойдет
. Итого два вектора:
. Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.
Задание 2.
Чтобы показать, что является базисом в
достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность
равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора
и потому не может быть базисом в
. Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку
-- не базис.
Задание 3.
(A)
,
,
.
(B)
Поскольку размерность равна трем, то для того чтобы показать, что
-- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы
равен трем (поскольку ее определитель, равный
, ненулевой).
Задание 4.
В нашем случае имеем систему . Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение
такое, что
. Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов:
дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность
. Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к
, тогда переменные
будут базисными, а
-- свободными. Ненулевое решение предъявить просто:
Пространство решений есть ядро
, а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим
и тогда
-- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.
Задание 5.
1. В нашем случае . Легко видеть, что берутся числа вида
, то есть
и потому
, значит,
состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно,
является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы (
) и умножения на скаляр.
2. . Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например,
лежит в множестве, однако
-- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.
3. . Здесь те же причины:
лежит в множестве, а
-- нет.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Алгебра
-
простахачууусписать15.09.2020 08:05
-
shorgk24.11.2022 21:16
-
stepman22829.08.2021 13:12
-
aknietzhumanova08.06.2021 15:33
-
mariyakohtuk21.07.2020 05:06
-
DAYN777DEBIL19.03.2021 12:00
-
SuperLeonellus12326.02.2021 03:05
-
DashaRossgard09.09.2021 09:10
-
Nqp14.01.2020 17:02
-
mynames221.12.2022 12:57
![Caktus Image](/tpl/img/cactus.png)
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.