Произведение п множителей,каждый из которых равен а, называется

в частности, степенью числа  a  с показателем  1  называется само число  a, то есть,  a1=a.

из данного определения понятно, что с степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. например,  8·8·8·8  можно записать как степень  84. это аналогично тому, как с произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру,8+8+8+8=8·4  (смотрите статью  общее представление об умножении натуральных чисел).

сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. универсальный способ чтения записи  an  таков: «a  в степени  n». в некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a  в  n-ой степени» и «n-ая степень числа  a». для примера возьмем степень  812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. вторую степень числа называют  квадратом числа, например,  72  читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». третья степень числа называется  кубом числа, к примеру,  53  можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа  5».

пришло время   примеры степеней с натуральными показателями. начнем со степени  57, здесь  5  – основание степени, а  7  – показатель степени. еще пример:   десятичная дробь  4,32  является основанием, а натуральное число  9  – показателем степени  (4,32)9.

обратите внимание, что в последнем примере основание степени  4,32  записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. в качестве примера следующие степени с натуральными показателями  , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида  (−2)3  и  −23. выражение  (−2)3  – это степень  отрицательного числа  −2 с натуральным показателем 3, а выражение  −23(его можно записать как  −(23)) соответствует числу,  противоположному  значению степени  23.

заметим, что встречается обозначение степени числа  a  с показателем  n  вида  a^n. при этом, если  n  – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. например,  4^9  – это другая запись степени  49. а вот еще примеры записи степеней при символа «^»:   14^(21),  (−2,1)^(155). в дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида  an.

данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите  возведение в степень с натуральным показателем.

одной из , обратной возведению в степень с натуральным показателем, является нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. эта приводит к  понятию корня из числа.

также стоит изучить  свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.