7-8 признаки ромба ,доказательство любого признака (обязательно)

теорема. если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб

пусть abcd – данный параллелограмм и ac ⊥ bd.  δ aob = δ cob по первому признаку равенства треугольников (∠ aob = ∠ boc, по условию, ao = oc – по свойству диагоналей параллелограмма, bo – общая). следовательно, ab = bc. по свойству противолежащих сторон параллелограмма ab = dc, bc = ad, т.е. все стороны равны, значит abcd – ромб. теорема доказана!

 

теорема. если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб

пусть abcd – данный параллелограмм и ∠ cab = ∠ cad. ∠ cad = ∠ acb как внутренние накрест лежащие при прямых bc и ad и секущей ac. а по условию ∠ cab = ∠ cad, следует что δ abc – равнобедренный (∠ cab = ∠ acb, признак равнобедренного треугольника). поэтому, ab = bc. так как abcd – параллелограмм, то ab = cd, bc = ad. тогда ab = bc = cd = ad. таким образом, abcd – ромб. теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть abcd  трапеция :   ad  ||  bc ,  ∠a=∠b =90°  ;   ad=12  см  ;   r  = 3  см.  s(abcd) -  ? ab=h =2r (высота трапеции)  ;   обозначаем   bc=x .  s(abcd) = (ab+cd)/2 * h =(12+x)/2 *(2r) =  (12+x)*3.  ad +bc =ab +cd  (свойство описанного четырехугольника).  12 +  x = 6+cd⇒cd=6+x. из вершины  c проведем  ce  ⊥  ad. de =ad -ae =ad  -bc =12 -x.ce=h  =2r.  из прямоугольного  треугольника  ced по теореме пифагора: cd² =  de² +ce²  ⇔(6+x)² =(12 -x)² +6²⇒x=4. следовательно:   s =  (12+x)*3 =(12+4)*3 =48 (см²).  ответ  :   48 см².