Вправильном тетраэдре точка е - пересечение медиан треугольника bcd. найдите косинус угла между ab и плоскостью abc и косинус угла между ae и плоскостью abc
Ответы на вопрос:
между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). вот найти угол (обозначу его ф) между ae и abc - это интересная .
я бы не стал решать эту , если бы у неё не было совершенно фантастической красоты метода решения. так-то её технически ничего не стоит сделать.
я специально поменяю обозначения. обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения.
если автору не понравится способ решения - обратитесь к модератору, он это удалит :
итак. берется куб abcda1b1c1d1. трехмерная фигура с вершинами a1bc1d - тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники).
поскольку (например) фигура cc1bd - тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. точно так же - в ту же точку - проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. получается, что и а1 и с лежат на одной прямой, перпендикулярной bdc1. то есть большая диагональ a1c куба abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает её в центре этого треугольника.
само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра a1bc1d, и тоже проходят через центры граней.
поэтому : )
углу ф соответствует угол между диагональю куба bd1 и плоскостью bdc1.
поскольку все диагонали пересекаются в центре куба "о", то искомый угол равен
ф = 90° - ф1, где ф1 - угол между любыми двумя большими диагоналями куба. : (если из центра о, принадлежащего bd1 опустить перендикуляр на bdc1, этот перпендикуляр будет - как я только что доказал - частью диагонали куба a1c, отсюда это и получается).
на этом можно было бы красоты завершить, и свести к техническому вычислению этого угла. но можно и добавить красот : ))
дело в том, что расстояние от a1 до плоскости bdc1 в два (в 2) раза больше, чем от c до этой же плоскости. то есть плоскость bdc1 делит a1c в пропорции 2/1, считая от вершины a1. это просто увидеть, если провести плоскость b1d1a, которая параллельна плоскости bdc1 (потому что обе перпендикулярны a1c), и заметить, что отрезок диагонали a1c от a1 до плоскости b1d1a равен отрезку этой диагонали между плоскостями b1d1a и bdc1. в самом деле, эти плоскости делят отрезок a1c1 пополам, поэтому и любую другую наклонную из точки a1 они делят пополам (теорема фаллеса : точно так же, отрезку a1c между плоскостями b1d1a и bdc1 равен и отрезок от с до bdc1, поскольку эти плоскости делят отрезок ac пополам (а, следовательно, и любую другую наклонную из точки с к этим плоскостям). получились, что диагональ a1c разделена порскостями b1d1a и bdc1три равных отрезка, откуда и следует соотношение длин 2/1. но это означает, что от центра куба до плоскости bdc1 - ровно 1/6 диагонали a1c. с учетом того, что от центра до вершины куба 1/2 диагонали, косинус угла ф1 между большими диагоналями куба равен 1/3. само собой, это - синус ф.
а косинус - уж найдите сами : (он равен 2√3/3)
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Геометрия
-
RRuslan61901.08.2020 13:43
-
Aaa1nuchto27.10.2022 10:50
-
345680111.07.2021 09:36
-
РешОрше03.02.2020 14:33
-
kolbasko00111.11.2022 03:45
-
cawa027306.08.2020 18:14
-
гилеваКсения11.04.2021 23:16
-
dianaaloyts31.01.2021 08:23
-
кёрс2330.10.2021 03:28
-
ppdfsaf21.03.2023 23:48
![Caktus Image](/tpl/img/cactus.png)
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.