Точки e и f лежат соответственно н сторонах ad и bc параллелограмма abcd ab=ed, bf: fc=4: 3 . выразить вектор ef через вектор m=ab и n=ad

решение:

отобразим на чертеже точку g – середину стороны bc. соединим точки e (середина ad по условию) и точку g (середину bc). получим вектор (т. к. они коллинеарны, поскольку   и ). по условию известно, что bf: cf=4: 3. обозначим сторону bc за 7x, тогда bg=3,5x (т. к. g– середина bc), bf=4x, следовательно gf=0,5x=bc/14=ad/14. проведем вектор . вектор .

воспользуемся формулой площади треугольника: s=1/2*a*b*sina. a и b - две соседние стороны, sina - синус угла между ними. так как oa1=oa5=oa7, достаточно доказать, что sin(a1oa5)=sin(a5oa7). заметим, что угол a1oa2 равен 1/12*360=30 градусам, так как он равен 1/12 угла в 360 градусом. угол a1oa5 в 4 раза больше этого угла, а угол a5oa7 в 2 раза больше этого угла. первый угол равен 60, а второй 120 градусам. sin60=sin120=√3/2, тогда и площади треугольников будут равны.