Найдите значение функции y=g(x) в заданных точках: a) g(x)= x=b; x=; x=4 б) g(x)= x=-2; x=4; x=6

часть a

a1.  выражение  .

              решение.  поскольку  , получаем:

правильный ответ: 2.

a2.  найдите значение выражения  .

              решение.  так как    и    при    имеем:

правильный ответ: 3.

a3.  вычислите  .

              решение.  используя формулы    и    получаем:

правильный ответ: 1.

a4.  на каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке  ?

              решение.  функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.правильный ответ: 4.

a5.  найдите множество значений функции  .

              решение.  так как  , имеем:

правильный ответ: 2.

a6.  найдите область определения функции  .

              решение.  область определения данной функции задается системой  имеем:

с2.  найдите все значения  , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций    и    меньше, чем 0,25.              решение. искомое множество совпадает с множеством решений неравенства  .              решим это неравенство:

ответ:   .

с3.  требуется разметить на земле участок    площадью 2000  м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где  ,    и  . найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин  ,    и  , при которых периметр является наименьшим.              решение. обозначим через  ,    и    соответственно длины отрезков  ,    и площадь участка  . тогда периметр    данного участка выражается формулой  .о              ценим площадь прямоугольника  :

              значит,  , откуда, учитывая  , получаем  . следовательно,  .              найдем наименьшее значение функции    на промежутке  . (учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток:   .)              на основании теоремы о среднем арифметическом и среднем двух неотрицательных чисел получаем  . при этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда  , откуда, учитывая  , получаем  . (исследование функции    можно было также провести с производной.)              таким образом,    – наименьшее значение функции    на промежутке  , и достигается оно при  . при этом  .ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.

c4.  в пирамиде    грани    и  перпендикулярны,  . тангенс угла между прямой    и плоскостью    равен  . точка    выбрана на ребре    так, что  . точка    лежит на прямой    и равноудалена от точек    и  . центр сферы, описанной около пирамиды  , лежит на ребре  , площадь этой сферы равна  . найдите объем пирамиды  .              решение. опустим перпендикуляры    и    из точек  и    соответственно на плоскости    и    и перпендикуляр    из точки    на прямую  , а также построим отрезки    и    (см. рис).              поскольку плоскости    и    перпендикулярны, точки    и    лежат на их линии пересечения – прямой    и отрезки    и    перпендикулярны  . кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах,  , так как    – проекция    на плоскость  .              отрезки    и    – проекции равных наклонных    и    на плоскость  , следовательно,  . таким образом, отрезок    является высотой равнобедренного треугольника  , а, следовательно, является и его медианой, откуда  .              центр сферы, описанной около пирамиды  , лежит на ребре  , следовательно,    – диаметр    этой сферы. так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы    и    – вписанные углы, опирающиеся на диаметр  , следовательно,    и  .              так как    – проекция    на плоскость  , угол    является углом между прямой    и плоскостью  .              далее имеем: 1)  по условию, площадь сферы, описанной около пирамиды  , равна  , откуда  ,  ,  .2)  прямые    и    параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой  , следовательно,  , откуда  ,  , а, значит,  .3)  в прямоугольном треугольнике    тангенс угла    равен  , следовательно,  . тогда  ,  ,  ,  .4)  треугольники    и    имеют общую высоту, проведенную из вершены  , следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований    и  , откуда получаем  ,  .5)  прямоугольные треугольники    и    подобны, так как имеют общий острый угол  , следовательно,  , откуда  .              окончательно имеем

ответ:   .

c5.  найдите все значения  , при каждом из которых оба числа    и    являются решениями неравенства  .              решение. пусть  . тогда

              решим теперь неравенство  .1)  если  , то данное неравенство равносильно системе неравенств                решая эту систему, последовательно получаем:

              таким образом, все числа промежутка    являются решениями данного неравенства.2)  если  , то данное неравенство равносильно неравенству  , решая которое, получаем: