Иследовать функцию и сделать её график. f(x)=x^3-3x^2-9x

общая схема исследования и построения графика функции

  при построении графиков функций можно    придерживаться следующего  плана:

  1. найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - их нет, поэтому d(f) = r.

2. выяснить, является ли функция четной или нечетной - ни та, ни другая.

3. выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

пересечение с осью оу: х = 0, у = 0,

                      с осью ох: у = 0,  x³-3x²-9x = 0, вынесем х за скобки:

                    х(x²3x²-9) = 0, отсюда  получаем значение первого корня:

                    х₁ = 0, далее приравниваем нулю квадратный трёхчлен:

x²  -  3x  -  9   = 0.

квадратное уравнение, решаем относительно x:  

ищем дискриминант:

d=(-3)^2-4*1*(-9)=9-4*(-9)=*9)=)=9+36=45;

дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₂=())/(2*1)=(√45+3)/2=√45/2+3/2  = 3√2/2+1.5  ≈  4.85410197;

x₃=(-√))/(2*1)=(-√45+3)/2=-√45/2+3/2=-3√2/2+1.5≈-1.85410197.

5. найти асимптоты графика - не имеет.

6. вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

f(x)=x³-3x²-9x,   f'(x)=3x²-6x-9 приравниваем нулю:

3x²-6x-9 = 0.

квадратное уравнение, решаем относительно x:  

ищем дискриминант:

d=(-6)^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=*9)=)=36+108=144;

дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√))/(2*3)=())/(2*3)=(12+6)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;

x₂=(-√))/(2*3)=(-))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1.

критические точки  x₁  = 3,  x₂ = -1.

7. найти промежутки монотонности функции: (-∞; -1), (-1; ; +∞).

8. определить экстремумы функции f(x).

надо определить знаки производной на промежутках монотонности.

х = -2, у' =  3*4 +  12  -  9 =   15   функция возрастающая,

х = 2,   у' =   3*4 -  12  -  9 = -9     функция убывающая,

х = 4,   у' = 3*16 - 24 - 9 = 15     функция возрастающая. 

9. вычислить вторую производную f''(x) = 6х - 6 = 6(х - 1).

10. определить направление выпуклости графика и точки перегиба:

11. построить график, используя полученные результаты исследования.