Втреугольнике авс уголв=120°, длина ав на 3 корней из 3 меньше полупериметра. найти радиус окружности, касающейся стороны вс и прододжительности сторон ав и ас.

пусть ав = с; bc = a; ac = b;  

p = (a + b + c)/2;

я обозначаю p - c = z (в условии дано z = 3√3); или b + a - c = 2*z;

радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

r = s/(p - a); или r = 2*s/(b + c - a);  

теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z =  b + a - c;

r = 2*s*2*z/((b + c - a)*(b - c   +a)) = 4*s*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*s*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);

теперь надо подставить s = a*c*sin(b)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(b); получается

r = 2*z*a*c*sin(b)/(2*a*c - 2*a*c*cos(b)) = z*sin(b)/(1 - cos(b)); это ответ в общем случае.

 

если подставить sin(b) =  √3/2; cos(b) = -1/2, (то есть угол в = 120°) то r = z/√3;

при z = 3√3; r = 3

 

это повторение моего решения вот отсюда  с поправкой на числа. там еще есть немного теории про вневписанные окружности.

 

я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.

соотношение  r = s/(p - a); где  r - радиус  вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать просто. если соединить центр о этой окружности с вершинами треугольника авс, то 

s = sabo + saco - sbco (sabo - это площадь треугольника аво, и так далее)

в каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника авс.

s = ab*r/2 + ac*r/2 - bc*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;

чтд.

отсюда, кстати, сразу можно получить веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы герона для площади)

s^2 = r*ra*rb*rc;

где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника авс. 

ac^2=ab^2+cb^2-2abcbcos120

ac^2=34+15

ac=r=7

ответ: 7.

Втреугольнике авс  ∠с=90°,  ∠а=42°,  ∠в=90-42=48°. сн - высота, се - биссектриса. ∠есн=? высота прямоугольного треугольника делит его на   два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному, значит  ∠асн=∠сва=48°. ∠асе=90/2=45°. ∠есн=∠асн-∠асе=48-45=3° - это ответ.