Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма. можно с рисунком и по нему все

в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних равна 180° как сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей.   

∠а=∠с. 

∠aвc+  ∠bсd=180°.

проведя высоты ам и ан к продолжению св и сd,  получим четырехугольник сман, в котором углы амс и анс - прямые. их сумма 90°•2=180°. 

сумма углов выпуклого четырехугольника 360°. 

сумма  ∠ман+∠всd=360°-180°=180° ⇒

∠aвc+∠bсd=ман+всd,  ⇒  ∠ман=∠авс, что и требовалось доказать.

обратим внимание на то, что речь идет о противоположных углах, а не об углах, прилежащих к одной боковой стороне трапеции. основания трапеции параллельны, каждая боковая сторона при них - секущая. поэтому  сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°, так как они внутренние односторонние при пересечении параллельных прямых секущей. 

обозначим трапецию  авсд. по условию  ∠а: ∠с=1: 2

∠д: ∠в=7: 8 

примем угол  а=а, тогда угол  с=2а.

примем угол  д=7b, тогда угол  в=8b

a+8b=180° 

2a+7b=180° 

приравняем левые части уравнений:

а+8b=2a+7b⇒

b=a

подставим в первое уравнение вместо  b – а, т.к. они равны. 

тогда  а+8а=180°⇒

а=20° и b=20°. 

следовательно,  ∠вад=20°,  ∠авс=8•20°=160°;

∠всд=2•20=40°;   ∠сда=7•20=140°.