Найдите наименьшее значение выражения |y|+|3x−y|+|x+y−1|, где х и у - произвольные действительные числа

Приравняем наше значение к параметру а, затем обе части приравняем к у. получилась система уравнений. решим эту систему графически, рассмотрев четыре области плоскости, ограниченные прямыми у=0, у=3х и х+у=1, учитывая, что у> 0. графиком первого уравнения будет точка с координатами (0,25; 0,75). значит эта точка и будет решением, при х=0,25 и у=0,75 значение выражения равно 0,75. ответ: 0,75. график и рассмотренные области во вложении.

Представим выражение в виде |y| + |y - 3x| + |y - (1 - x)|. смысл модуля: |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой. пусть x — такой, при котором достигается минимум.  обозначим x1 < = x2 < = x3 — значения 0, 3x, 1 - x  в порядке возрастания. необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. я , что минимум будет достигнут, если y = x2. действительно, пусть y > x3 > = x2. сдвинем точку немного влево. все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3. если x3 > = y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2. рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём  этот минимум равен x3 - x1. итак, нам удалось избавиться от y. нужно решать такую : найти минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x). перебираем случаи.  1) 3x — максимум. тогда 3x > = 0, 3x > = 1 - x. первое неравенство: x > = 0 второе неравенство: 4x > = 1; x > = 1/4. итог: так будет при x > = 1/4. а) 0 — минимум. 0 < = 1 - x, x < = 1. так будет при x из отрезка [1/4, 1]. f(x) = 3x - 0 = 3x — возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4 б) 1 - x — минимум. так будет при x > = 1. f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 — возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3. 2) 1 - x — максимум. (1 - x > = 3x, 1 - x > = 0. тогда x < = 1/4) а) 0 — минимум (0 < = 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4]) f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(1/4) =  1 - 1/4 = 3/4. б) 3x — минимум (x < = 0). f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(0) = 1. 3) 0 — максимум. ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x. выбираем из четырёх значений наименьшее, это 3/4. ответ. 3/4

сумма всех двузначных чисел, кратных 2 (10, 12, 14, 98): сумма равна 45*(10+98)/2=2430

сумма всех двузначных чисел, кратных 3 (12, 15, 18, 99): сумма равна  30*(12+99)/2=1665

сумма всех двузначных чисел, кратных 6 (12, 18, 24, 96): сумма равна  15*(12+96)/2=810

 

искомая сумма равна 2430+1665-810=3285