Может ли у каждого из учащихся в классе быть ровно трое друзей в этом классе, если в классе: 1) 25 учащихся; 2) 18 учащихся?

Обозначим учеников точками на плоскости, а дружеские связи отрезками, соединяющими эти точки. пусть в классе n учеников. т.к. из каждой точки выходит ровно 3 отрезка и каждый отрезок связывает 2 точки, то количество отрезков равно 3n/2. 1) если n=25, то 3*25/2 не является целым числом, поэтому в классе не могло быть 25 учеников. 2) если n=18, то 3*18/2=27. т.е. должно быть 27 отрезков. но это еще не доказывает, что 18 точек можно связать 27 отрезками так, что из каждой точки выходит ровно 3 отрезка, поэтому предъявим такое расположение. поместим точки в вершинах выпуклого 18 угольника, пронумеруем их по порядку от 1 до 18, и нарисуем стороны этого 18-угольника. в результате, каждая его вершина будет связана с двумя соседними,  т.е. из каждой вершины выходит ровно 2 отрезка. осталось соединить вершины 9 диагоналями так, чтобы из каждой вершины выходила ровно одна диагональ. т.к. количество точек четное, то это возможно: например соединяем точки так: [1,10], [2,11], [3, [9,18].  видим, что это действительно дает диагонали, т.к. в каждой паре разница между номерами не равна 1. при этом каждая вершина участвует по одному разу. понятно, что это работает и для любого четного n.

1x²-5x-24=0 x1+x2=5 u x1*x2=-24⇒x1=-3 u x2=8 x²-6x-27=0 x1+x2=6 u x1*x2=-27⇒x1=-3 u x2=9 (x²-5x-24)/(x²-6x-27)=(x+3)(x-8)/(x+3)(x-9)=(x-8)/(x-9) 2 (a²-6)/(a²-2√6a+6)=(a-√6)(a+√6)/(a-√6)²=(a+√6)/(a-√6)