Диагональ правильной четырёхугольной призмы 4 и составляет с боковой гранью угол в 30 градусов. найдите площадь боковой поверхности призмы.

Правильная призма  — это прямая  призма, основанием которой является правильный многоугольник, в случае   правильной четырехугольной призмы - основанием призмы является квадрат.  правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед.  пусть данная призма - авсда₁в₁с₁д₁  сделаем рисунок. ( во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. )  решение.  ав  ⊥  вс1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости).    диагональ ас ₁  - гипотенуза прямоугольного треугольника авс₁ тогда  ав,  сторона основания,   противолежащая углу 30º, равна половине ас₁  ав=вс=сд=да=2   квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.  d²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒  h²=16-8=8   h=√8=2√2  площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.  р=4*2=8 см  ѕ бок=8*2√2=16√2 см²высоту   призмы можно найти иначе.  а) сначала найдем диагональ  вс ₁  боковой грани- она   равна  ас ₁  ·cos 30°=(4 √3): 2=2 √3  высоту  h  трапеции найдем по т. пифагора из треугольника всс ₁   h² =(2 √3)²+2²=12-4=8h=2√2    б) тот же результат получим, найдя  по т. пифагора  из треугольника авс ₁    диагональ вс ₁     боковой грани, затем из прямоугольного треугольника всс ₁    высоту призмы сс ₁. 

∆аов: так как ос является биссектрисой в треугольнике, то угол аос и сов будут равны половине угла, то есть, 45°.