Втреугольнике abc бессектриса угла а делит высоту , проведённую из вершины в, в отношении 13: 12, считая от точки в. найдите радиус окружности , описанной около треугольника авс, если вс=10.

чтобы решить надо вспомнить расширенную теорему синусов. в данном случае, так как известна сторона вс, то лучше воспользоваться стороной вс и углом вас. синус этого угла предстоит вычислить.

пусть вн - высота, проведенная к стороне ас.

ак - биссектриса угла вас, где к - точка пересечения биссектрисы со стороной вс.

точка о - пересечение высоты вн и биссектрисы ак.

тогда по свойству биссектрисы, делящей вн в отношении во: он=12: 13,

из прямоугольного треугольника авн стороны ав и ан относятся так же друг к другу.

ав: ан=13: 12.

заметим,  что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. в данном случае

нетрудно догадаться, что ан: ав=12: 13.

по основному тригонометрическому тождеству

заметим, что

выбираем положительное значение синуса. так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. подставляем в формулу (1).

r=13.

ответ: r=13.