При каких значениях a, функция: f(x) = x^2 - 3 | x - a^2 | - 7x имеет хотя бы одну точку максимума? если можно, то с графиками!

у меня без графиков. и вообще не знаю, верно ли.

ну сначала рассматриваем два случая раскрытия модуля:

1) при x > = a^2

f(x) = x^2 - 10x + 3a^2

находим производную:

f'(x) = 2x - 10

точка экстремума:

2x - 10 = 0

x = 5

2) при x < a^2

f(x) = x^2 - 4x - 3a^2

f'(x) = 2x - 4

2x - 4 = 0

x = 2

при подстановке точек экстремума в функцию получим:

f(2) = -10 -3|2 - a^2|

f(5) = -10 -3|5 - a^2|

то есть, нам нужно, чтобы модули не были равны, в этом случае будет одна точка максимума и одна точка минимума.

при a^2 < = 2

2 - a^2 < > 5 - a^2

2 < > 5

верно при любых значениях а, то есть, подходит любое значение из промежутка

-sqrt(2) < = a < = sqrt(2)

при 2 < a^2 < = 5

2 - a^2 < > -(5 - a^2)

2a^2 < > 7

a < > sqrt(7/2)

то есть, подходят значения из промежутков

-sqrt(5) < = a < -sqrt(7/2),

-sqrt(7/2) < a < -sqrt(2), 

-sqrt(2) < a < sqrt(2),

sqrt(2) < a < sqrt(7/2) и

sqrt(7/2) < a < = sqrt(5).

при a^2 > 5

2 - a^2 < > 5 - a^2

2 < > 5

верно для любых значений а из промежутков a < -sqrt(5) и a > sqrt(5)

то есть, для того, чтобы существовала хотя бы одна точка максимума, нам подходят значения а, принадлежащие промежуткам: (-беск; -sqrt(7/2)) u (-sqrt(7/2); sqrt(7/2)) u (sqrt(7/2); +беск).

(sqrt(x) - корень квадратный из х).

как-то так, наверно.