Верно ли что разность числа и суммы его цифр делиться на 9

разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. это легко понять хотя бы на примере трехзначных чисел. если abc = а x 100 + b x 10 + с — трехзначное число, то сумма его цифр равна a + b + с и разность abc – (а + b + с) = 99а + 9b делится на 9.

пусть а, в, с, … — целые числа, которые нам необходимо сложить, и а1, b1, c1, … — суммы их цифр. обозначим буквой р остаток от деления на 9 суммы цифр числа  (а + в + с + …). из сказанного выше следует, что разность (а + в + с + …) – р делится на 9. но эту же разность можно представить в виде (а – а1) + (в – b1) + (c – c1) + … + (а1  + b1  + c1  + – р). все числа а – а1, в – b1, c – c1, делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число а1  + b1  + c1  + – р. это означает, что остаток от деления на 9 числа а1  + b1  + c1  + … также равен р. итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.