Как можно понятней, на уровне 7 класса. из чисел от 0 до n выбрали двенадцать и расставили по кругу. оказалось, что разность любых двух несоседних чисел делится на количество чисел между ними (количество чисел считается в том на -правлении, в котором их меньше). найдите наименьшее возможное n.

прежде всего, можно считать, что среди выбранных чисел есть 0. если это не так, то из всех чисел вычитаем наименьшее, и все разности сохраняются. при этом наибольшее используемое число уменьшится, то есть такой пример можно улучшить.

занумеруем числа по кругу от 1 до 12. пусть число 0 получило номер 1. тогда через 5 номеров от него, то есть 6-м по счёту, находится число, делящееся на 4 (так как между первым и шестым числом находятся 4 числа). далее прибавляем по 5, и видим, что на 4 делятся все числа: 1-е, 6-е, 11-е, 4-е (11+5-12=4), 9-е, 2-е, 7-е, 12-е, 5-е, 10-е, 3-е, 8-е.

можно теперь разделить все числа на 4, работая с числами от 0 до n/4 (в конце мы снова умножим на 4), и следя за двумя условиями. когда промежуточных чисел 1, 2 или 4, всё будет выполнено. то есть остаются 3 и 5. числа, между которыми 5 промежуточных, будут противоположны, если всё расположить в вершинах правильного 12-угольника. разность между ними кратна 5.

заметим, что остатков от деления на 5 имеется всего 5, и поэтому среди 12 чисел найдутся как минимум три, тот же остаток. ввиду того, что противоположные (по диагонали) числа одинаковые остатки, их должно быть по крайней мере 4. они друг от друга отстоят как минимум на 5, и если начать от нуля, то возникнут 0, 5, 10, 15. это значит, что более узкого диапазона окажется недостаточно. следовательно, n/4> =15, и n> =60.

осталось построить пример с числами от 0 до 60. чтобы было проще следить, мы перечислим не сами числа, а делённые на 4. в качестве примера подходят числа 0, 2, 1, 3, 9, 5, 10, 12, 6, 8, 4, 15, расположенные по кругу. видно, что противоположные числа (между которыми 5 чисел) разность кратную пяти. а числа через три подразделяются на группы 0, 9, 6; 2, 5, 8; 1, 10, 4; 3, 12, 15, где все разности кратны трём.

итоговый пример получается умножением на 4 выписанных выше чисел.

25x³ + 25x² = 25x²(x + 1)