Докажите что сумма расстояния от любой точки взятой внутри или на любой стороне правильного треугольника до его сторон равна высоте треугольника.

возьмем равносторонний треугольник ∆авс и точку внутри этого треугольника о.

соединим эту точку с вершинами треугольника. таким образом мы разделили данный нам ∆ авс на 3 треугольника: ∆аов, ∆аос и ∆вос. то есть площадь данного нам ∆авс равна сумме площадей ∆аов, ∆аос и ∆вос.

но sавс = 1/2ас*н (где н - высота нашго треугольника)

          sаов =1/2ав*h1 (где h1 - высота ∆аов или ничто иное как расстояние от точки о внутри нашего треугольника до стороны ав)

        sаос = 1/2ас*h2 (где h2 - это расстояние от о до прямой ас)

        sвос =1/2 вс*h3 (где h3 - это расстояние от о до прямой вс)

но ав=вс=ас по определению.

тогда сумма площадей трех треугольников равна 1/2ав*h1+1/2ас*h2+1/2 вс*h3 или 1/2ас*h1+1/2ас*h2+1/2ас*h3 = 1/2ас*(h1+h2+h3) и эта сумма равна площади нашего треугольника авс sавс = 1/2ас*h.

значит н = h1+h2+h3 что и требовалось доказать.

если точка лежит на любой из сторон - это частный случай, когда соединив эту точку с вершинами данного нам треугольника получим два треугольника, а не три. остальные рассуждения те же.

Если две стороны треугольника равны - это равнобедренный треугольник , и медиана, проведённая к основанию делит треугольник на два прямоугольных треугольника, зная две стороны которых мы можем найти третью по теореме пифагора: пусть аf=х тогда х=√ (600²-225²)=√ (360000-50625)=√309375=556,≈556,2мм - половина длины ab - основания треугольника abc ab=556,2×2=1112,4 мм p=1112,4+2×600=2,312,4≈2312мм