На доске написано число 0. за один ход можно увеличить число на доске на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, но так, чтобы результат не делился на 10. какое наибольшее число может получиться на доске через 118 ходов?

Покажем, как за 118 ходов получить число 1049. сначала увеличиваем число на 9. потом 13 раз повторяем одну и ту же операцию: 8 раз увеличиваем число на 9 и один раз увеличиваем число на 8 (одна операция содержит 9 ходов, а 13*9+1=118).  в результате 10 первых ходов получим числа 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 89. поскольку к началу второй операции последняя цифра снова равна 9, последние цифры будут повторяться и среди них не будет цифры 0, то есть, ни на каком шаге полученное число не будет делиться на 10. за одну операцию число увеличится на 8*9+1*8=80. тогда результат будет равен 9+13*80=1049. заметим, что всего мы 13 раз прибавили 8 и 118-13=105 раз прибавили 9. предположим, что мы смогли получить число, большее 1049. но тогда мы должны хотя бы 106 раз из 118  прибавить цифру 9 и не более 12 раз прибавить другие цифры. разобьем последние 117 шагов на 13 групп по 9, тогда хотя бы в одной группе на всех шагах будут прибавляться девятки. это означает, что на каком-то этапе мы прибавляем девятку 9 раз подряд, при этом число, имеющееся перед первым шагом, не делится на 10. пусть последняя цифра этого числа равна x, тогда после прибавления x девяток мы получим число, делящееся на 10 (после каждого прибавления девятки последняя цифра числа уменьшается на 1). поскольку x не превосходит 9, число, кратное 10 будет неизбежно получено, что противоречит условию. значит, за 118 ходов мы не можем прибавить более 105 девяток и получить число, большее 105*9+13*8=1049. ответ: 1049.

Нечетное число, потому что оно не  делится на четные числа

Верно. пример: одна сторона 48 смежная 1, периметр будет равен 48+48+1+1=100 одна сторона 30 смежная 20 периметр будет равен 30+30+20+20=100