Если в четырехугольнике три угла являются прямыми, то его противолежащие стороны параллельны. докажите.

Доказательство.  пусть abcd – данный параллелограмм, o – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.  δ aod = δ cob по первому признаку равенства треугольников (od = ob, ao = oc по условию теоремы, ∠ aod = ∠ cob, как вертикальные углы). следовательно, ∠ obc = ∠ oda. а они являются внутренними накрест лежащими для прямых ad и bc и секущей bd. по признаку параллельности прямых прямые ad и bc параллельны. так же доказываем, что ab и dc тоже параллельны. по определению данный четырехугольник параллелограмм. теорема доказана.  теорема.  если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.  пусть abcd – данный четырехугольник. ad параллельно bc и ad = bc.  тогда δ adb = δ cbd по первому признаку равенства треугольников (∠ adb = ∠ cbd, как внутренние накрест лежащие между прямыми ad и bc и секущей db, ad=bc по условию, db – общая).  следовательно, ∠ abd = ∠ cdb, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых ab и cd и секущей db. по теореме признаке параллельности прямых ab и cd параллельны. значит, abcd – параллелограмм. теорема доказана.  теорема.  если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.  доказательство.  пусть дан четырехугольник abcd. ∠ dab = ∠ bcd и ∠ abc = ∠ cda.  проведем диагональ db. сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников abd и bcd. так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,  ∠ dab + ∠ bcd + ∠ abc + ∠ cda.= 360 º. так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ dab + #8736 abc = 180 º и ∠ bcd + ∠ cda = 180 º.  углы bcd и cda являются внутренними односторонними для прямых ad и вс и секущей dc, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые ad и вс параллельны. так же доказывается, что ab || dc. таким образом, четырехугольник abcd – параллелограмм по определению. теорема доказана.

Х-стоимость одной тетради.

5х-3х=170

2х=170

х=85

5х=85×5=425(р) -потратил Миша 3х=85×3=255(р)-потратила Юля