Запись натурального числа состоит из 12ти единиц и 9ти нулей ( 12ти единиц и 13ти нулей) .может ли это число быть квадратом другого натурального числа? ,

Не может. доказательство от противного. если запись натурального числа состоит из 12 единиц, а остальные цифры только нули, то это  число очевидно делится на 3 нацело, т.к. по признаку делимости на 3 - сумма цифр данного числа делится на 3, значит и само число делится на 3. пусть данное число а, и как мы установили a= 3*k,  где k - натуральное,если предположить, что  a = 3k = n^2, (где n - натуральное), то3k = n*n, и отсюда следует, что n делится нацело на 3, то естьn = 3m, где m- натуральное, но тогда имеем3k = (3m)*(3m) = 9*(m^2),3k = 9*(m^2),k = 3*(m^2) иa = 3k = 3*( 3*(m^2)) = 9*(m^2),то есть получаем, чтоa делится нацело на 9. с другой стороны, поскольку по признаку делимости на 9 данное в условии число не делится на 9 (сумма цифр данного в условии числа не делится на 9, поэтому а не делится на 9).это и есть противоречие, то есть мы пришли к противоречию, предположив, что существует  другое натуральное число n, квадрат которого равен данному в условии. поэтому такого натурального  числа n не существует.

1111 1111 1111 11110 111100 1111000 1234321