Регистрация Спросить otvet5GPT
228дима228ннчнччн
22.02.2023 23:17
Математика
Есть ответ 👍

Сколько существует натуральных n, меньших 1031, таких что уравнение a^2+b^2=3^n имеет решение в целых числах?

288
368
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Иван54654
Иван54654
4,4(26 оценок)
Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. покажем, что других решений нет. пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3.  покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие. теперь  рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. остается случай, когда на 3 делятся оба числа. пусть  , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. ясно, что x< n, y< n. если x=y, то, разделив обе части на  , получим уравнение  . поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x< y. разделив уравнение на  , имеем  . первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие. таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.
NoZeX1
NoZeX1
4,6(95 оценок)
1+2+34+5 = 40 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS