Сколько существует натуральных n, меньших 1031, таких что уравнение a^2+b^2=3^n имеет решение в целых числах?

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. покажем, что других решений нет. пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3.  покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие. теперь  рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. остается случай, когда на 3 делятся оба числа. пусть  , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. ясно, что x< n, y< n. если x=y, то, разделив обе части на  , получим уравнение  . поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x< y. разделив уравнение на  , имеем  . первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие. таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

1+2+34+5 = 40 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\