Двое играют в игру: на доску выписывают натуральное число, а затем по очереди они вычитают из числа на доске, квадрат, не превосходящий этого числа, и полученную разность вместо исходного числа записывают на доске, квадрат, не превосходящий этого числа, и полученную разность записывают на доску. докажите, что существует бесконечно много начальных чисел,при которых выигрывает второй игрок

Предположим противное: всего чисел, для которых выигрывает второй игрок конечно. пусть всего их c: { }. возьмём  произвольное число y, для которого выигрывает первый игрок. понятно, что должно существовать такое z, что  для некоторого i. то есть утверждение эквивалентно тому, что существует некоторое конечное множество a такое, что любое натурально число либо принадлежит a, либо может быть представлено как     + элемент из а.  (z   - натуральное). предположим, что это так. тогда возьмём отрезок [1, m]. далее будем брать элемент из a и прибавлять к нему квадраты натуральных чисел (1, 4, 9 и если это число лежит в промежутке [1, m] увеличивать некий счётчик count. понятно, что для элемента xi мы увеличим счётчик на  . но тогда когда мы сделаем это для каждого элемента из a, в счётчике будет    , но так как m растёт быстрее, чем  , то для некоторого m в промежутке будут числа, не представимые в виде  , приходим к противоречию, а значит утверждение истинно. замечание 1: понятно, что count > = чем чисел в промежутке [1, m], которые представимы как xi^2 + z^2. замечание 2: [x] - целая часть числа х (или наибольшее целое число, не превосходящее x).

(c + 1) (c - 3) + (c - 1)(c + 3) + 6 = c² - 3c + c - 3 + c² + 3c - c - 3 + 6 = 2c²