Сколько существует натуральных чисел n. не больших 10000, для которых 2^n- n^2 делится на 7

237

404

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

endi5678

Математика

4,4(46 оценок)

Рассмотрим периодичность остатков от деления на 7 двух выражений: 2^n и n^2. для 2^n: при n=1: 2^1≡2(mod 7) при n=2: 2^2≡4(mod 7) при n=3: 2^3≡8≡1(mod 7) при n=4: (2^3)*2≡1*2≡2(mod 7) - начался новый период таким образом, длина периода равна 3. для n^2: при n=1: 1^2≡1(mod 7)при n=2: 2^2≡4(mod 7)при n=3: 3^2≡9≡2(mod 7)при n=4: 4^2≡16≡2(mod 7) при n=5: 5^2≡25≡4(mod 7) при n=6: 6^2≡36≡1(mod 7) при n=7: 7^2≡0^2≡0(mod 7) если представить число n как 7k+a, где a - некоторое неотрицательное целое число из промежутка [0; 6], то (7k+a)^2≡49k^2+14ak+a^2≡a^2(mod 7). это значит, что число (7k+a)^2 имеет такой же остаток от деления на 7, что и число a^2. таким образом, при n=8 остаток от деления на 7 будет таким же, каков и остаток от деления на 7 числа 1. для n=9 остаток такой же, как при n=2. это значит, что длина периода остатков n^2 на 7 равна 7. определим общую длину периода остатков от деления на 7 чисел 2^n и n^2. это и будет как раз длиной периода остатков разности 2^n-n^2. нок(3,7)=21.это означает, что остаток от деления на 7 числа 2^1-1^2 совпадает с остатком от деления на 7 числа 2^22-22^2. и т.д. зачем это все было расписано? число 2^n-n^2 делится нацело на 7, если остаток от деления на 7 этого выражения равен 0. суть в том, чтобы посчитать количество нулевых остатков внутри одного периода, длина которого 21, затем умножить это на количество периодов, а затем добавить число нулевых остатков у оставшегося неполного периода, чтобы добрать до 10000.итак, количество периодов равно [10000/21]=476.10000-476*21=4 - число остатков, которые надо будет добрать.рассмотрим полностью весь период остатков. в первой колонке выпишем номера n, во второй колонке - остатки от деления на 7 выражения 2^n, в третьей колонке - остатки от деления на 7 числа n^2. среди этих остатков равными являются те, которые соответствуют таким n: 2,4,5,6,10,15. таким образом, среди первых 9996 n количество чисел вида 2^n-n^2, делящихся нацело на 7, равно 476*6=2856.n=9997,9998,9999,10000 соответствуют n=1,2,3,4. среди них равные остатки получаются при n=2,4. то есть к итоговому результату надо прибавить 2. в итоге получим 2856+2=2858.ответ: 2858.

Kanmoen014

Математика

4,5(79 оценок)

4*15=4*3*5=20*3=60 6*25=6*5*5=30*5=150 5*16=5*2*8=10*8=80 5*24=5*4*6=20*6=120 8*28=8*4*7=224

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.