Всемизначном телефонном номере незнайки нет нулей. как-то незнайка сказал, что если сложить все двузначные числа, получающиеся вычеркиванием пяти цифр из его номера, то получится 2009. докажите, что незнайка ошибся.

Пусть номер незнайки записывается как abcdefg, где a, — цифры от 1 до 9, не обязательно различные. всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр. заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.  кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте. теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad++ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)++(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом:   (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)++(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g. заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. число 2009 на 3 не делится, следовательно, незнайка ошибся.

(30+30*40)*2=(1200+30)*2=2460  дм. периметр