Стороны прямоугольника равны 1 см и 3 см, в нем проведены все биссектрисы до взаимнового пересечения. найти площадь образованного ими четырехугольника. можно с рисунком.

Рассмотрим одну биссектрису и прямоугольник. накрест лежащие углы равны, следовательно в образованном треугольнике углы при основании равны и образован равнобедренный треугольник с боковым ребром 1 см. то же самое с остальными треугольниками. биссектрисы отсекают от большей стороны прямоугольника отрезки по 1 см, следовательно между ними остаётся отрезок в ещё 1 см., следовательно они пересекаются за пределами прямоугольника. рассмотрим три треугольника, образованные двумя биссектрисами с одной стороны прямоугольника. они равны, т.к. мы доказали что углы равны при секущей (45 градусов) и по стороне (1 см). рассмотрим треугольник, выходящий за пределы прямоугольника. его основание равно 1 см., углы при основании равны 45 градусов как вертикальные с углами в треугольнике внутри прямоугольника. площадь искомого четырёхугольника равна площадь прямоугольника минус 6 маленьких треугольников и плюс два равных им треугольника снаружи прямоугольника, т.е. площадь прямоугольника минус площадь 4 маленьких треугольников. площадь маленького треугольника равна половине прямоугольного треугольника, образованного одной биссектрисой. площадь этого треугольника: ½×1×1=½. площадь маленького треугольника ½: 2=¼. площадь искомого четыругольника: 1×3-(¼×4)=3-1=2 (см)

коэффициент подобия периметров подобных треугольников равен коэффициенту подобия их сторон.

рассмотрим любую сторону треугольников. 

обозначим коэффициент подобия - х

сторона меньшего треугольника - 3х

сторона большего 11х

разность между сторонами

11х-3х=8 х

х=10: 8=10/8

3х=30/8=3¾

11х=110/8=13  ¾

проверка:

¹⁵/₄   :   ⁵⁵/₄=¹⁵/₅₅=  ³/₁₁