Прямые ма и mb касаются окружности с центром о в точках а и в. точка с симметрична точке о относительно точки в. докажите, что ∠amc = 3∠bmc.

рассмотрим окружность с центром в точке о. оа и ов - радиусы окружности, поэтому oa=ob. по теореме о касательных (две пересекающиеся касательные равны) эти треугольники равны по углу (угол радиуса к касательной всегда прямой по свойству касательной) и прилежащим к ней сторонам, а отсюда следует, что углы амо и омв равны (только они как-бы в зеркальном оторбражении). (1)

кроме того, по правилу зеркальной симметрии, ob = bc, а также углы bmc и omb равны. (2)

следует отметить, что угол amc содержит все три угла.

из (1) и (2) следует, что углы амо, bmc и омв равны, а значит, если считать один их этих углов равным одной части, то весь угол amc равен трём частям.

иными словами, amc = 3bmc, что и требовалось доказать.

авсd-прямоугольник. из угла а проведем биссектрису и она пересечется с диагональю bd в точке о. во=15см, do=20см, тогда bd=20+15=35см.

пусть ав=х, тогда ad=√(bd^2-x^2)=√(1225-x^2)

по свойству биссектрисы bo/od=ab/ad

15/20=x/√(1225-x^2)

3/4=x/√(1225-x^2)

9/16=x^2/(1225-x^2)

16x^2=9*(1225-x^2)

16x^2=11025-9x^2

25x^2=11025

x^2=441

x=21см

ав=21см

ad=√(1225-441)=√784=28см

s=ab*ad=21*28=588см^2