Сколько существует трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Обозначим через a, b, c - множества трёхзначных чисел, которые делятся на 2, 3 и 5 соответственно. a¯, b¯, c¯ - которые не делятся на 2, 3 и 5 соответственно. через n(a)  обозначают число элементов множества а и т.д. найти  n(a¯∩b¯∩c¯). всего трехзначных чисел 999-99=900. n(a¯∩b¯∩c¯)=900-n(a∪b∪c). множества а,в и с - пересекаются. применяем формулу включений и исключений n(a∪b∪c)=n(a)+n(b)+n(c)-n(a∩b)-n(b∩c)-n(a∩c)+n(a∩b∩c)=   n(a)=450  чисел кратных 2  (900: 2=450) n(b)=333 чисел кратных 3    (900: 3=300) n(c)=180 чисел кратных 5    (900: 5)=180) n(a∩b)=150 чисел, кратных 6 n(b∩c)=60 чисел, кратных 15 n(a∩c)=90 чисел, кратных 10 n(a∩b∩c)=30 чисел, кратных 30. n(a∪b∪c)= 450+300+180 -150 -60 - 90 + 30=660 n(a¯∩b¯∩c¯)=900-n(a∪b∪c)=900-660=240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5. о т в е т. 240 трехзначных  чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Давайте посмотрим, на что они могут заканчиваться. ясно, что это цифры 1, 3, 7, 9 (отсюда можно уже не рассматривать делимость на 2 и на 5. эти числа мы исключили). остались только те, что не кратны 2 и не кратны 5. таких чисел 10×9×4 = 360 (уже лучше, чем все трехзначные) хорошо. дальше в сумме все цифры не должны давать число, кратное 3. сумма двух оставшихся чисел максимум составляет 18. расмотрим 4 случая 1) **1 сумма первых двух чисел не может принимать значения 2, 5, 8, 11, 14, 17. 2 = 1+1 = 2 + 1 (-2 числа) 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0 (-5 чисел) 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1 = 8 + 0 (-8 чисел) 11 = (-11 чисел) 14 = (-14 чисел) 17 = (-17 чисел) итого меньше на 57 чисел меньше 2) **3 сумма не может принимать значения 3, 6, 9, 12, 15, 18 на 63 числа меньше 3) **7 сумма не может принимать значения 2, 5, 8, 11 на 26 чисел меньше 4) **9 сумма не может принимать значения 3, 6, 9 на 18 чисел меньше в итоге мы получаем 360 - 57 - 63 - 26 - 18 = 196. ответ: 196

2x+3x+5x=60

10x=60

x=6

2×6=12

3×6=18

5×6=30

Пошаговое объяснение: