Впрямоугольном треугольнике авс ( угол с = 90, ав= 13,ас=св-7 ) проведена биссектриса ск. найдите катеты треугольника авс и радиус окружности,описанной около треугольника скв.?

Итак, поехали. см. рисунок. там сделали допостроения и обозначения. св=х ас=х-7 по т. пифагора  (х-7)²+х²=13² отсюда х=12 (отрицательное значение ж не подходит) х-7=5 катеты будут 5 и 12.напишем их зеленым на рисунке, чтоб удобнее было. а теперь самое интересное. центр опис.окр. лежит на серединных перпендикулярах. что и обозначено. т.е. см=12/2=6 дальше, ∠сок - центральный для ∠свк, значит он = 2α, тогда угол сон в 2 раза меньше ( треугольник сок равнобедр. с высотой он) и равен α. обозначим зеленым. тогда ∠осм=90-α-45=45-α теперь из δ осм имеем  r=cm/cos(45-α) r=6/cos(45-α) подставляя формулу косинуса разности получаем cos(45-α)=cos45cosα+sin45sinα=√2/2(cosα+sinα) но из первоначального треугольника, когда нашли его катеты, имеем cosα=12/13 sinα=5/13 a  cosα+sinα=12/13+5/13=17/13 cos(45-α)=17√2/26 и r=6/(17√2/26)=78√2/17 вроде так.

радиус вписанной окружности в многоугольник определяется по формуле

r=a/(2*tg(360°/2*n))

или сторона равна

a=2r*tg(360°/2*n)

для правильного треугольника

a=2rtg60°=2r*sqrt(3)

и периметр p1=6r*sqrt(3)

для правильного шестиугольника

a=2rtg30°=2r*/sqrt(3)

и периметр p2=12r/sqrt(3)

 

отношение

p1/p2=6r*sqrt(3):   12r/sqrt(3) = 3/2