Найдите все значения параметра p при котором прямая y=3-p и график функции y=ctg2x+sinx имеют хотя бы одну общую точку

1) пусть поставлена для функции y=ctg(2x)+sin(x). ctg(2x) имеет множество значений (-inf; +inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений  (-inf; +inf). поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с  y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p.ответ: при любых значениях p.2) пусть поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x). y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1 требуется определить множество значений этой функции. пусть sin(x) = t. тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1; 1], так как t=sin(x). f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³. нули числителя: t=∛2 нули знаменателя: t=0. расположим эти точки на числовой прямой. f'> 0             f'> 0           f'< 0           f'< 0           f'> 0 -1 0 1   ∛2 > f     ↑                   ↑               ↓               ↓                 ↑ на отрезке [-1; 1] функция возрастает с -1 до 0-. затем с 0+ до 1 убывает. это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1; 1] достигается на одном из его концов. то есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1. при стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1; +inf). y=3-p - горизонтальная прямая. она имеет общую точку с графиком функции y(x)= 1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). таким образом, 3-p> =-1, p< =4.ответ: при p< =4.

В уравнении (x² - 16)² + (x² + x - 12)² = 0, выражение (x² - 16)² разложим на множители по формуле a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), а выражение (x² + x - 12)² разложим по формуле ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

1) (x² - 16)² = ((x - 4)(x + 4))² = (x - 4)²(x + 4)²;

2) (x² + x - 12)²

x² + x - 12 = 0;

По теореме Виета x1 = 3; x2 = - 4;

(x² + x - 12)² = ((x -3)(x + 4))² = (x - 3)²(x + 4)²

Подставим получившиеся после преобразований выражения в исходное уравнение.

(x² - 16)² + (x² + x - 12)² = 0;

(x - 4)²(x + 4)² + (x - 3)²(x + 4)² = 0 - вынесем за скобку общий множитель (x + 4)²;

(x + 4)²((x - 4)² + (x - 3)²) = 0;

1) x + 4 = 0;

x = - 4.

2) (x - 4)² + (x - 3)² = 0 - раскроем скобки по формуле (a - b)² = a² - 2ab + b²;

x² - 8x + 16 + x² - 6x + 9 = 0;

2x² - 14x + 25 = 0;

D = b² - 4ac;

D = 196 - 4 * 2 * 25 = 196 - 200 = - 4 < 0, корней нет.

ответ. - 4.