Иследуйте функцию и постройте график: f (x)=-1/3x^3+x^2

Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2. 1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, d = r, разрывов нет. 2-выяснить является ли чётной или нечётной. проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). итак, проверяем:   f(-x) =  (-1/3)x³ +  x²   = (1/3)x³ +  x²  - нет   -f(-x) = /3)x³ +  x²) = /3)x³ +  x²) = -(1/3)x³ -  x²  - нет,  значит, функция  не является  ни чётной, ни нечётной. 3-определить точки пересечения функции с координатными осями . график функции пересекает ось x при f = 0 значит надо решить уравнение: (-1/3)x³+  x²  =  0.-x³ + 3x² = 0. -x²(x-3) = 0. имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.график пересекает ось y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в y =  (-1/3)x^3 +x^2. y = (-1/3)0³+0²  = 0.  точка:   (0, 0)  4-найти критические точки функции. находим производную и приравниваем её нулю: y' = -x²+2x = -x(x-2). имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2. 5-определить промежутки монотонности  (возрастания,убывания). исследуем поведение производной вблизи критических точек. х =                 -0.5     0      0.5          1.5      2       2.5 y'=-x^2+2x    -1.25     0    0.75        0.75      0    -1.25 где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.возрастает на промежутке [0, 2] убывает на промежутках (-oo, 0] u [2, oo) 6-определить точки экстремума. они уже найдены: это  2 критические точки: х = 0 и х = 2.где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции. минимум функции в точке:   x = 0,максимум функции в точке: х = 2. 7 -определить максимальное и минимальное значение функции.значения функции в экстремальных точках: х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4  = 4/3, х = 0, у = 0. 8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба. найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2 (x−1)=0решаем это уравнение корни этого ур-ния x1=1 интервалы выпуклости и вогнутости: найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: вогнутая на промежутках (-oo, 1] выпуклая на промежутках [1, oo)

Составим и решим систему из двух уравнений: y = x² y = x + 6 приравняем правые части. x² = x + 6 x² - x - 6 = 0 x² + 2x - 3x - 6 = 0 x(x + 2) - 3(x + 2) (x + 2)(x - 3) = 0 x = -2; 3. раз уравнение имеет два корня, то и графики функций пересекаются в двух точках.  ответ: да, причём в  двух точках.