Нужно примеры недеференцируемости; a) непрерывной функции б) непрерывними частными производными в)непрерывной и частными производными

1. частные производные первого порядка.  пусть функция    определена в области    и  . тогда при малых    определено ее частное приращение по  :   .

                  определение.  частной производной  функции    по переменной      в точке    называют предел

,

если он существует.

                  частную производную по    обозначают одним из следующих символов:

.

аналогично определяется частная производная по    и вводятся ее обозначения.

                  легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

                  пример. найти частные производные функции  .

  имеем:

,        . ^

                  2. частные производные высших порядков.  рассматривая частные производные    и    как функции от  , приходим к понятиям частных производных второго порядка. а именно, выражения

,         

называют  частными производными второго порядка  функции    по    и по    соответственно, а выражения

,         

–  смешанными частными производными второго порядка  функции  . их обозначают также символами:   ,  ,    и  . аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23  ), 4-го порядка (их будет 16=24  ) и т.д.

                  теорема 4.  если в некоторой окрестности точки  функция    имеет смешанные частные производные    и  , причем эти производные непрерывны в точке  , то они равны в  этой точке:

=.

                  если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции    не зависят от порядка дифференцирования в точке  .