Билет №13. 1. вертикальные углы (определение и свойства). 2. доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. отрезки ab и ce пересекаются в их общей середине о. на отрезках ac и be отмечены точки к и m так, что ak равно bm. доказать, что ok равно om. билет №14. 1. объяснить, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. 2. свойство биссектрисы угла равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. 3. один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. найти гипотенузу треугольника. билет №15. 1. какая теорема называется обратной к данной теореме. примеры. 2. доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. 3. разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусам. найти эти углы. билет №16. 1. объясните, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. 2. свойство внешнего угла треугольника. 3. через середину отрезка проведена прямая. доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой. билет №17 1. параллельные прямые. расстояние между параллельными прямыми. 2. доказать, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 3. в треугольнике abc угол а равен 40, а угол все, смежный с углом acb, равен 80. доказать, что биссектриса угла все параллельна прямой ab. билет №18. 1. признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. доказать свойство вертикальных углов. 3. в равнобедренном треугольнике abc с основанием ас=37см, внешний угол при вершине в равен 60 градусам. найти расстояние от вершины с до прямой ab. билет №19. 1. объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. всегда ли эта имеет решение. 2. доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 3. основание равнобедренного треугольника равно 8см. медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2см больше периметра другого. найти боковую сторону данного треугольника. билет №20. 1. объясните, как построить биссектрису данного угла. 2. доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом с внешний угол при вершине а равен 120, ас+ав=18см.найти ac и ab. билет №21. 1. объясните, как найти середину отрезка. 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны. 3. в треугольниках abc и mke отрезки со и eh медианы, bc=ke, угол в равен углу к и угол с равен углу e. доказать, что треугольник асо равен треугольнику meh.

Билет №19.                         1.на листочке бумаги чертишь по линейке одну сторону. обозначь, например конечные точки а и вциркулем на линейке берешь размер второй стороны, в точку а ставишь иголочку циркуля. карандашом циркуля проводишь дугу.теперь берешь циркулем размер третьей стороны. из точки в проводишь циркулем дугу. где дуги пересеклись, поставь точку с. это третья вершина твоего треугольника. соедини точки а, в, с по линейке.а теперь подумай -если сумма длин сторон ас и вс будет меньше или равна длине стороны ав, разве твои дуги пересекутся? попробуй для интереса. нет, не пересекутся.отсюда и делаем вывод ( для этого и задали) -сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны. 2.теорема (соотношение между сторонами и углами треугольника) . в произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол.  доказательство. пусть в треугольнике авс сторона ав больше стороны ас. докажем, что угол с больше угла в. для этого отложим на луче ав отрезокad, равный стороне ас. треугольник асd - равнобедренный. следовательно, ð1 = ð2. угол 1 составляет часть угла с. поэтому ð1 < ðc. с другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника всd. поэтому ð2 > ðb. следовательно, имеем ðc > ð1 = ð2 > ðb. следствие: в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона.  докажем, что если в треугольнике авс угол с больше угла в, то и сторона ав больше стороны ас. действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник авс был бы равнобедренным и, следовательно, угол с равнялся бы углу в. сторона ав не может быть меньше стороны ас, так как в этом случае, по доказанному, угол с был бы меньше угла в. остается только, что сторона ав больше стороны ас.  3.1) 2+3=5(см) - боковая сторона.  2) 5+2=7(см) - основание  проверка: 5х2=10, 10-3=7  так же:   х - основание  у - боковая сторона  у+2=х  х+3=у2  у+2+3=у2  так как чтобы из у получить у2 надо к у прибавить у, то (2+3)=у                                                   билет №201. поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки). не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. это и будет биссектриса.  2.пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab , и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab . отсюда получаем, что δ acd = δ bcd .из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd , adc = bdc . из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника.теорема доказана. 3.если внешний угол а равен 120 => сам угол а = 60 (как смежные углы, т. е. 180-120). если угол а = 60 => угол в = 30 градусов. в прямоугольном треукгольнике напроитв угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. то есть.  ав = 2 * ас.  => 2*ас + ас = 18.=> 3*ас = 18  => ас = 6  => ав = 18 - 6 = 12билет №211.возьми циркуль и выстави на нём длину чуть меньше отрезка. иглу на начало отрезка, чертим окружность. иглу на конец отрезка, чертим окружность. окружности пересекутся в двух точках, соедини эти точки прямой. прямая пересечёт середину заданного отрезка. 2.пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны.  3.ao=mh, так как ос и ен - медианы треугольников abc и mke. так как углы с и е равны и вс=ке, то углы асо и мен также равны. так как углы в и к равны, то соответственно углы а и м равны, из этого следует, что треугольники асо и мен равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

∠ade=∠edc=∠aed. δade-равнобедренный, ае=аd=7 см. вс=аd=7 см. ав=ае+ве=7+8=15 см. сd= 15 см. периметр всdе равен 8+7+15+7=37 см. ответ: 37см.