Укр. відрізок завдовжки 25 см спирається кінцями на дві перпендикулярні площини. відстань від кінців відрізка до площин дор. 7 см і 15 см. обчислити проекції відрізка на кожну з площин. рус. отрезок длиной 25 см опирается концами
на две перпендикулярные плоскости. расстояние от концов отрезка к плоскостям дор. 7 см и 15 см. вычислить проекции отрезка на каждую из плоскостей.

пусть плоскости α и β перпендикулярны.

отрезок расположен как на рисунке.

в плоскости α проведем перпендикуляр ас к линии пересечения плоскостей, тогда ас⊥β, т.е. это расстояние от точки а до плоскости β, ас = 7 см.

вс - проекция отрезка ав на плоскость β.

в плоскости β проведем перпендикуляр bd к линии пересечения плоскостей, тогда bd⊥α, т.е. bd - расстояние от точки в до плоскости α, bd = 15 см.

ad - проекция ав на плоскость α.

надо вычислить длины отрезков вс и ad.

если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, значит ас⊥св.

δавс: ∠асв = 90°, по теореме пифагора:

            вс = √(ав² - ас²) = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см

δadb: ∠adb = 90°, по теореме пифагора

            ad = (ab²- bd²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 см

центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 1) ∠adc+∠bcd=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых ad и bc и секущей cd); 2) так как точка o — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠odf+∠ocf=1/2∙(∠adc+∠bcd)=90º; 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике cod ∠cod=90º; 4) таким образом, треугольник cod прямоугольный, а of — высота, проведенная к гипотенузе, cf и fd — проекции катета oc и od на гипотенузу.5) треугольник соd (по теореме пифагора): cd^2 = co^2 + od^2cd = корень [co^2 + od^2] = корень [3^2 + 4^2] = 56) обозначим  cf = mтогда fd = 5-mof = r (радиус)треугольник сfо (по теореме пифагора): r^2 + m^2 = oc^2   r^2 + m^2 = 3^2   откуда r^2 = 9 - m^2    7) треугольник оfd (по теореме пифагора): r^2 + (5-m)^2 = od^2   r^2 + (5-m)^2 = 4^2   подставим из 6): 9 - m^2  +  (5-m)^2 = 4^2   9 - m^2  +  5^2 - 2*5*m + m^2 = 4^2   9  +  25 - 10m = 1610m = 18m = 1.88) подставим результат в 6):   r^2 = 9 - m^2 = 9 - 1,8^2 = 5,769) площадь круга s = п*r^2 = 5,76п ~ 18,096