На сторонах ab, bc, cd и ad параллелограмма abcd отмечены точки k, l, m и n соответственно, причём ak: kb = bl: lc = cm: md = dn: na. а) докажите, что четырёхугольник klmn — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма abcd. б) найдите отношение площадей параллелограммов klmn и abcd, если известно, что ak: kb=2: 5

А) пусть ak : kb = 1 : n ak =  x, bl = y, тк ab = cd и bc = ad имеем: cm = ak =  x kb = md = nx nd = bl = y lc = an = ny δakn = δlme по 1 признаку (ak = cm, an = lc,  ∠kan =  ∠lcm) => kn = lm аналогично получаем kl = nm таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм пусть km ∩ ln = o δaon =  δloc по 2 признаку (an = lc = ny,  ∠oan =  ∠ocl и  ∠olc =  ∠ona как внутренние накрест лежащие при ad || bc) =>   ∠aon =  ∠loc =>   ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать б) пусть ak = cm = 2x kb = md = 5x bl = nd = 2y an = lc = 5y заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sina sabcd = 7x * 7y * sina = 49xysina sklmn = sabcd - 2(sakn + sbkl) = 49xysina - 2(10xysina / 2 + 10xysina / 2) = 49xysina - 20xysina = 29xysina sklmn / sabcd = 29xysina / (49xysina) = 29 / 49 ответ: а) доказано; б) 29 / 49.

А)144+х+81=144+54+81=280 б)45х+15х-30х=45 ×12+15×12-30×12=360 с)22(х+5)- 18х =22×5+5×5-18×5=45