Найти производную в m(2; -2) по направлению

1. находим частные производные. du/dx=(-y/x²)*1/(1+y²/x²)=-y/(x²+y²), du/dy=(1/x)*x²/(x²+y²)=x/(x²+y²) 2) находим значение этих производных в точке м: du/dx(2; -2)=2/(4+4)=1/4=0,25; du/dy(2; -2)=2/(4+4)=1/4=0,25. 3) уравнение x²+y²=4x, или x²-4x+y²=(x-2)²+y²-4=0, или (x-2)²+y²=4, очевидно, есть уравнение окружности с центром в точке м1(2; 0) и радиусом r=√4=2.  4)  обозначим f(x,y)=x²-4x+y². найдём df/dx и df/dy. df/dx=2x-4, df/dy=2y. 5) найдём значения этих производных в точке м.  df/dx(2; -2)=0, df/dy(2; -2)=-4. эти значения являются координатами нормального вектора, проходящего через  точку м, то есть вектора, перпендикулярного вектору, направленному по касательной к окружности в данной точке м. из  бесчисленного множества последних выберем нормированный. пусть этот вектор имеет координаты ax и  ay. тогда, так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. но последнее можно записать в виде 0*ax+(-4)*ay=0, откуда ay=0. с другой стороны, скалярное произведение ax*ax+ay*ay=(ax)²+(ay)²=1, откуда ax=+1 и ax=-1.  6) производная по направлению в точке м  вычисляется по формуле du/dl=du/dx(2; -2)*cos  α +du/dy(2; -2)*cos  β, где cos  α=ax/модуль а, cos  β=ay/модуль а. но модуль а=1, и тогда cos  α=1 либо cos  α=-1, cos  β=0. а тогда du/dl=0,25*1=0,25, либо du/dl=-0,25. ответ: 0,25 либо -0,25.

Пусть дан ∆ АВС, ∠С=90°. АВ=13; ВС=5.

Решить эту задачу можно разными .  

1.

Прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13  относится к Пифагоровым тройкам с отношением сторон 5:12:13. ⇒ АС=12 ( можно найти и по т.Пифагора)

sin∠CAB=ВС/АВ=5/13

В прямоугольном ∆ СНА  ∠CAH=∠CAB ⇒ CH/AC=5/13

CH=5•12:13

CH=60/13

                           *  * *  

2

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

СВ²=АВ•BH

25=13•BH⇒

BH=25/13

CH=√(BC²-BH²)=√(25•144:169)=60/13=4⁸/₁₃

                * * *  

При желании можно найти СН и другими .